Μια απόδειξη χωρίς λόγια!!!!!!!!

F. N.Cole (1861-1926)

   O  Γάλλος αβάς Mersenne (1588-1645), μαθηματικός, θεολόγος και επιφανής λόγιος της εποχής του, στο έργο του Cogitata Physica-Mathematica (1644) ισχυρίστηκε ότι ο αριθμός  2⁶⁷-1  είναι πρώτος , (διαιρείται ακριβώς μόνο με τον εαυτό του και την μονάδα).
Εν γένει ο Mersenne είχε διατυπώσει την εικασία ότι οι αριθμοί της μορφής  Mp=2^p-1  είναι πρώτοι για    p = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 . Ο Mersenne όμως είχε κάνει 5 λάθη.Εσφαλμένα διατύπωσε ότι οι αριθμοί και M₆₇  ,  M ₂₅₇   είναι πρώτοι  ενώ απέκλεισε τους αριθμούς M₆₁ ,Μ₈₉,Μ₁₀₇  . Ειδικά για την απόδειξη ότι ο αριθμός M₆₇ = 2⁶⁷-1  δεν είναι πρώτος υπάρχει μια ενδιαφέρουσα ιστορία.

  Εν έτη  1903  ,ο Φρανκ Νέλσον Κόουλ, καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια της Νέας Υόρκης σε  ένα συνέδριο της Αμερικανικής μαθηματικής Εταιρείας  επρόκειτο να δώσει μια διάλεξη με τον πρωτότυπο τίτλο « Περί παραγοντοποιήσης πολύ μεγάλων αριθμών». Όταν έφτασε η στιγμή της διάλεξης ,δίχως να πει λέξη ανέβηκε στον πίνακα  υπολόγισε την  δύναμη   2⁶⁷  αφαίρεσε μια μονάδα  και έγραψε το αποτέλεσμα .

                                      2⁶⁷-1  =147573952589676412927

 Στην συνέχεια εκτέλεσε τον παρακάτω πολλαπλασιασμό:         

                              193707721x761838257287=147573952589676412927

Το αποτέλεσμα του γινομένου ήταν το ίδιο .Τελικά έγραψε στον πίνακα:

                             2⁶⁷-1 =193707721x761838257287

Το ακροατήριο σηκώθηκε όρθιο και χειροκρότησε .Από το 1876 ήταν γνωστό ότι  ο αριθμός 2⁶⁷-1  , ένας αριθμός του Mersenne με 20 ψηφία, δεν ήταν πρώτος αλλά γινόμενο δυο μικρότερων πρώτων. Κανείς όμως δεν ήξερε ποιων. Όταν ρωτήθηκε ο Κόουλ  πως κατάφερε να βρει τους αριθμούς, αυτός απάντησε  ότι επί τρία χρόνια κάθε κυριακάτικο απόγευμα εργαζόταν στο πρόβλημα. Ο Markus Du  Sautoy  στο εξαίρετο βιβλίο του  «η μουσική των πρώτων αριθμών» (ιδανικό καλοκαιρινό ανάγνωσμα) αναφέρει το εξής ευτράπελο. Το 2000  μια παράσταση που ανέβηκε στο Μπρόντγουει με τίτλο το « θεώρημα των πέντε υστερικών κοριτσιών», απέτισε φόρο τιμής στον Κόουλ: ένα από τα κορίτσια επί σκηνής παραγοντοποίησε τον αριθμό του. Οι πρώτοι αριθμοί αποτελούν και ένα από τα κεντρικά θέματα του έργου και συνεχώς  επανέρχεται, ένα έργο στο οποίο περιγράφεται η εκδρομή μιας  μαθηματικής οικογένειας  στην παραλία. Ο πατέρας θρηνεί για την ενηλικίωση της κόρης του , όχι μόνο γιατί τώρα πια είναι αρκετά μεγάλη  ώστε να το σκάσει με τον εραστή της , αλλά επειδή το 17 είναι πρώτος, ενώ το 18 έχει 4 μικρότερους διαιρέτες .