Ένα πρόβλημα ζυγίσεων και μια λύση με στιχάκια!

     Είναι πολύ γνωστά τα προβλήματα με τα κάλπικα νομίσματα ,τις ζυγίσεις και τα σταθμά. Ένα τέτοιο πρόβλημα ακολουθεί ,αρκετά δύσκολο  με πολλές λύσεις  μια εκ των οποίων εξαιρετικά  πρωτότυπη (εφόσον εμπλέκει ένα μικρό ποιηματάκι).Το πρόβλημα έχει  το εξής :

 «Δίνονται 12 λίρες. Όλες τους έχουν το ίδιο βάρος έκτος από μια η οποία μπορεί να είναι είτε ελαφρύτερη είτε βαρύτερη, δεν γνωρίζουμε τι από τα δυο συμβαίνει. Με την χρήση μιας ζυγαριάς όπως αυτή του παρακάτω σχήματος πρέπει να βρεθεί η κάλπικη λίρα με το ελάχιστο πλήθος ζυγίσεων. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος ζυγίσεων;»

Η δυσκολία του προβλήματος έγκειται στο ότι δεν γνωρίζουμε αν η 

κάλπικη λίρα είναι ελαφρύτερη ή βαρύτερη.

   Πριν συνεχίσετε να διαβάζετε, προσπαθήστε να το λύσετε.  Είναι  δύσκολο αλλά αρκούντως εθιστικό. Μια πρωτότυπη λύση δημοσιεύτηκε στο  «Εύρηκα» (Eureka) το 1950 , ένα περιοδικό που εκδίδουν στο πανεπιστήμιο του  Cambridge «οι Αρχιμήδειοι «( Archimedeans ),μια από τις πιο παλιές προπτυχιακές μαθηματικές κοινότητες του πανεπιστημίου  του Cambridge. Η λύση πιστώνεται στον Cedric A.B. Smith όποιος την δημοσίευσε με το ψευδώνυμο «Blanchet Descartes».

   Ο Smith αποδεικνύει ότι απαιτούνται μόνο τρεις ζυγίσεις και το κάνει με ένα ευφυές όσο και πρωτότυπο τρόπο .Διατάσσει τα 12 νομίσματα σε μια σειρά  και ονομάζει το κάθε νόμισμα  με ένα διαφορετικό γράμμα της αγγλικής αλφαβήτου ως εξής :    F,A,M, N,O,T ,L,I,C,K,E,D, στην συνέχεια συντάσσει ένα ποίημα στο οποίο απευθύνεται στην….. μαμά του!                            Με την διάφορα ότι στους στίχους  του ποιήματος, «κρύβεται» η λύση .Το ποίημα έχει ως εξής:

                                               MA DO   LIKE

                                               ME TO   FIND

                                               FAKE     COIN

   Κάθε γραμμή του ποιήματος αποτελείται από δυο τετράδες νομισμάτων  που πρέπει να ζυγιστούν. Ουσιαστικά η διαδικασία λύσης είναι  τρεις ζυγίσεις,  μια για κάθε γραμμή , όπου από όλα τα διαφορετικά αποτελέσματα θα βρεθεί   η κάλπικη λίρα. Όλες οι δυνατές τριάδες ζυγίσεων  φαίνονται στον παρακάτω πίνακα και κάθε μια δίνει διαφορετικό αποτέλεσμα. Στον παρακάτω πίνακα στην  δεξιά στήλη προκύπτει   η κάλπικη λίρα  ενώ στις πρώτες τρεις στήλες όλα τα δυνατά αποτελέσματα  των τριών ζυγίσεων. Οπού  Αρ.  όταν η ζυγαριά γέρνει αριστερά ,Δεξ. η ζυγαριά γέρνει δεξιά  και Ισ. όταν η ζυγαριά ισορροπεί. Ας το δούμε αναλυτικά:

ΠΙΝΑΚΑΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΖΥΓΙΣΕΩΝ

1^η ζύγιση         2^η  ζύγιση            3^η  ζύγιση           Κάλπικη λίρα           

Ισ.                    Δεξ.                            Αρ.                         F   βαρύτερη                  

Ισ.                      Αρ.                              Δεξ.                     F ελαφρύτερη               

Αρ.                   Ισ.                              Αρ.                         A βαρύτερη                     

Δεξ.                  Ισ.                              Δεξ.                      A ελαφρύτερη                 

Αρ.                     Αρ.                        Ισ.                            M βαρύτερη                    

Δεξ.                   Δεξ.                      Ισ.                             M ελαφρύτερη                

Ισ.                      Δεξ.                       Δεξ.                         N βαρύτερη                     

Ισ.                     Αρ.                           Αρ.                          N ελαφρύτερη                 

Αρ.                    Αρ.                          Δεξ.                         O βαρύτερη                      

Δεξ.                   Δεξ.                      Αρ.                            O ελαφρύτερη                  

Ισ.                       Αρ.                          Ισ.                          T βαρύτερη                    

Ισ.                      Δεξ.                        Ισ.                            T ελαφρύτερη                   

Δεξ.                    Ισ.                         Ισ.                              L βαρύτερη                     

Αρ.                      Ισ.                         Ισ.                             L ελαφρύτερη                

Δεξ.                    Δεξ.                     Δεξ.                            I βαρύτερη                     

Αρ.                     Αρ.                         Αρ.                            I ελαφρύτερη                   

Ισ.                        Ισ.                         Δεξ.                          C βαρύτερη                      

Ισ.                         Ισ.                       Αρ.                             C ελαφρύτερη                    

Δεξ.                      Ισ.                        Αρ.                             K βαρύτερη                      

Αρ.                         Ισ.                       Δεξ.                           K ελαφρύτερη                 

Δεξ.                     Αρ.                         Αρ.                            E βαρύτερη                           

Αρ.                         Δεξ.                      Δεξ.                          E ελαφρύτερη                   

Αρ.                       Δεξ.                       Ισ.                               D βαρύτερη                        

Δεξ.                       Αρ.                        Ισ.                              D ελαφρύτερη                    

  

   Για παράδειγμα αν βάλουμε στην ζυγαριά  τις δυο πρώτες  τετράδες  λιρών  MA DO- LIKE   ( βλέπε το ποίημα) και γύρει η ζυγαριά δεξιά  (Δεξ.) , κατόπιν ζυγίσουμε τις δυο επόμενες τετράδες ME TO –FIND και ισορροπήσει η ζυγαριά    ( Ισ.)  και στην συνέχεια  τις δύο τελευταίες   τετράδες  FAKE- COIN και η ζυγαριά γείρει αριστερά (Αρ.) .Το αποτέλεσμα των ζυγίσεων είναι  : Δεξ.   Ισ. Αρ.  

Κοιτάμε τον πίνακα  και διαπιστώνουμε ότι η λίρα ,με το όνομα Κ είναι η βαρύτερη.