«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Κυριακή, 5 Φεβρουαρίου 2012

Χρυσά ορθογώνια,όστρακα και πιστωτικές κάρτες !!!


"..όπως ακριβώς ο Θεός δεν μπορεί να οριστεί απόλυτα,ούτε και να καταστεί κατανοητός μέσα από τις λέξεις ,έτσι και αυτός ο λόγος δεν μπορεί ποτέ να οριστεί μέσω κατανοητών αριθμών,ούτε και να εκφραστεί με την βοήθεια οποιασδήποτε ρητής ποσότητας , αλλά παραμένει απόκρυφος και μυστικός,αποκαλούμενος άρρητος από τους μαθηματικούς."
Luka Pacioli " De divina Proportions " (Η θεία αναλογία)



  Ο χρυσός αριθμός  Φ είναι ένας άρρητος αριθμός που ανακάλυψαν οι αρχαίοι Έλληνες της κλασσικής εποχής .Για πρώτη φορά γίνεται αναφορά  στα "Στοιχεία" του Ευκλείδη. Ισχύει:                                                    Φ=1.6180339887…
Ο Ευκλείδης το διατυπώνει ως εξής:
"Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον."

                                                                             ή                                                   
"Μια ευθεία  λέγεται ότι έχει τμηθεί σε άκρο και μέσο λόγο, όταν όπως έχει  η ολόκληρη ευθεία προς το μεγαλύτερο τμήμα έχει το μεγαλύτερο τμήμα προς το μικρότερο."


Δηλαδή:
 Δεδομένου ενός ευθύγραμμου τμήματος με αρχή Α και πέρας Β, ο χρυσός λόγος προκύπτει όταν επιλέγεται σημείο Γ πάνω στο ΑΒ τέτοιο ώστε  οι λόγοι των αποστάσεων ΑΒ/ΑΓ και ΑΓ/ΓΒ να είναι ίσοι μεταξύ τους .
                


 Ο Ευκλείδης περιγράφει επίσης πως μπορούμε να εντοπίσουμε το λόγο αυτό μέσα σε πολλά γεωμετρικά σχήματα.Για παράδειγμα ,σε ένα κανονικό πεντάγωνο αν φέρουμε τις διαγώνιους από την μια κορυφή στην άλλη, αυτές τέμνονται σε μέρη που σχηματίζουν το χρυσό λόγο. Για παράδειγμα στο σχήμα  οι λόγοι ΑΔ/ΑΖ και ΑΖ/ΖΔ είναι ίσοι.

                                                              
  Στους αναγεννησιακούς χρόνους η παραπάνω αναλογία αντιμετωπίζεται  με ανεξάντλητο δέος .Για τον Λεονάρντο Ντα Βίντσι αποτελούσε ύψιστη έκφραση αρμονίας και την χρησιμοποιούσε ως κανόνα αισθητικού κάλλους.Αυτός ήταν που βάφτισε τον Φ «χρυσό αριθμό» και την αναλογία που αντιπροσωπεύει «χρυσή τομή».
  Το 1509  εκδόθηκε μια διατριβή αφιερωμένη στην Χρυσή τομή .Ο τίτλος De divina Proportions  και συγγραφέας ήταν ένας φραγκισκανός  μαθηματικός: Ο  Luka Pacioli . Ο Pacioli  διατηρούσε επαφή με τους πιο διακεκριμένους  καλλιτέχνες της εποχής του, συμπεριλαμβανόμενου και του Λεονάρντο Ντα Βιντσι , και το έργο του διατυπώνει κοσμολογικές και μαθηματικές θεωρίες που συνδέουν την θεωρία των πλατωνικών στερεών με την αρχιτεκτονική και την εικονική προοπτική. Ο  Pacioli έδωσε στον Φ το δημοφιλέστερο και πιο επικό όνομα του ,την θεία αναλογία. Οι αναγεννησιακοί καλλιτέχνες την χρησιμοποιούσαν ευρύτατα  και την συναντάμε  στα πιο διάσημε έργα τους .
Ο μυθικός χρυσός αριθμός  προσδιορίζεται από την τιμή:

                                                
 Μετά από τον Pacioli  λέγεται πως κάθε ορθογώνιο η αναλογία του οποίου( η μεγαλύτερη πλευρά δια της μικρότερης) ισούται με Φ είναι χρυσό. Δείτε έναν απλό τρόπο για την κατασκευή ενός χρυσού ορθογωνίου.


                
 Αν ενώσουμε το μέσο Ι της πλευράς του τετραγώνου ΑΒΓΔ με την απέναντι κορυφή Γ τότε με χρήση του πυθαγορείου θεωρήματος  προκύπτει τμήμα μήκους :



                                                 
Το οποίο αν ευθυγραμμιστεί  με 1/2 ,δίνει 
                                                            
, που είναι ο χρυσός αριθμός.
Αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία  διαιρώντας ένα χρυσό ορθογώνιο  και στα τετράγωνα που προκύπτουν φέρουμε  ένα τεταρτημόριο  κύκλου με ακτίνα την πλευρά τους τότε προκύπτει το παρακάτω σχήμα  που ονομάζεται ισογώνιος η λογαριθμική σπείρα :



   Οι επιστήμονες έχουν διαπιστώσει με έκπληξη ότι η λογαριθμική σπείρα εμφανίζεται σε σχήματα φυσικών αντικειμένων με εντελώς διαφορετικές ιδιότητες. Στη μικρότερη κλίμακα εμφανίζεται στα όστρακα πολλών θαλάσσιων οργανισμών, όπως για παράδειγμα είναι ο ναυτίλος. Στην ενδιάμεση κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των κυκλώνων, όπως αποτυπώνεται χαρακτηριστικά στις φωτογραφίες των μετεωρολογικών δορυφόρων. Τέλος στη μεγαλύτερη δυνατή κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών, τεράστιων σχηματισμών από εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστέρια, τους οποίους μπορούμε να απολαύσουμε στις φωτογραφίες των σύγχρονων τηλεσκοπίων.
 Η ισογώνιος σπείρα πήρε το όνομα της από τον μαθηματικό Γιάκομπ Μπερνούλι  ο όποιος την μελέτησε επισταμένα και  είχε επιθυμία να χαραχτεί  ως επίγραμμα στον τάφο του μαζί με το απόφθεγμα " RESURGO EADEM MUTATA" ,("Αλλαγμένος και όμως ο ίδιος, ανασταίνομαι.")



  Στα ακόλουθα σχήματα παρουσιάζεται μια αξιοσημείωτη γεωμετρική ιδιότητα των χρυσών ορθογωνίων.
                                  
 
  Η θεία αναλογία επιτρέπει, όταν τοποθετήσουμε δυο χρυσά  ορθογώνια ακριβώς όπως δείχνει το σχήμα, η προέκταση της διαγωνίου του οριζοντίου ορθογωνίου διέρχεται από την κορυφή του κάθετου ορθογωνίου.
 Η πλειοψηφία των πιστωτικών καρτών ή των καρτών ανάληψης  είναι κατασκευασμένες έτσι ώστε να αποτελούν χρυσά ορθογώνια. Δείτε το παρακάτω σχήμα που το επιβεβαιώνει .

                                       

2 σχόλια:

  1. Συγχαρητήρια για το καταπληκτικό σας ιστολόγιο με τα υπέροχα θέματα!
    Μια μικρή διόρθωση/επισήμανση.
    Η επιτύμβια φράση που αναφέρεται στη λογαριθμική σπείρα είναι «Eadem Mutata Resurgo» και η καλύτερη απόδοσή της θα ήταν ίσως «Καίτοι μετασχηματιζόμενη ,ανασταίνομαι!» Λέγεται δε, ότι η αρχική πρόθεση του Μπερνούλι ήταν να καταλήγει η φράση με τη λέξη Seperdem (Εσαεί) «Eadem Mutata Resurgo Seperdem» πράγμα λογικό και πιο κοντινό στον αέναο μετασχηματισμό της έλικας ,εδώ που τα λέμε.
    Υπήρξε όμως αντίδραση από τις εκκλησιαστικές αρχές της Βασιλείας και τελικά το Seperdem δεν μπήκε! Η αντίδραση βέβαια ήταν γιατί στη Χριστιανική θρησκεία δεν ανασταίνεται κανείς (έστω κι ένα νοητικό μαθηματικό κατασκεύασμα) εσαεί, αλλά άπαξ!
    Γ.Ριζόπουλος, Λεμεσός.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. κάθε εύστοχη παρατήρηση είναι ευπρόσδεκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...