«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Δευτέρα, 26 Μαρτίου 2012

Τεμαχίζοντας ένα πολύγωνο με έναν.. προφανή τύπο




Αν θεωρήσουμε ένα κανονικό πολύγωνο.
Ένα πολύγωνο δηλαδή με όλες τις πλευρές και όλες τις γωνίες ισες.  Αν φέρουμε όλες τις διαγώνιους ενός κανονικού πολυγώνου σε πόσα τμήματα(τα τμήματα έχουν την έννοια του επίπεδου χωρίου) το χωρίζει ; Αν ξεκινήσουμε από το τετράγωνο  και φέρουμε τις δυο διαγώνιους του τότε έχουμε 4 τμήματα. Αν στην συνέχεια κάνουμε το ίδιο με το πεντάγωνο τότε λαμβάνουμε 11 τμήματα. ( βλέπε σχήμα)

 Επαναλαμβάνοντας για περισσότερα κανονικά πολύγωνα  κατασκευάζουμε τον παρακάτω πινάκα .Όπου n είναι τι πλήθος των πλευρών του πολυγώνου  και R(n) το  πλήθος των τμημάτων.

                                                             n                     R(n)
    Τρίγωνο
3
  1
   Τετράγωνο
4
  4
Πεντάγωνο
5
11
  Εξάγωνο
6
24
 Επτάγωνο
7
50
 Οκτάγωνο
8
80
 Εννεάγωνο
9
154
Δεκάγωνο
10
220



 









Μπορούμε να γενικεύσουμε και να βρούμε τύπο  που να δίνει το πλήθος των τμημάτων αν γνωρίζουμε το n; Αυτό ήταν το αντικείμενο με το οποίο ασχολήθηκαν οι μαθηματικοί Bjorn Poonen και Michael Rubinstein  το 1990.Οι δυο μαθηματικοί κατέληξαν σε μια πολύπλοκη σχέση με την οποία μπορούμε υπολογίσουμε το πλήθος των τμημάτων στα οποία χωρίζεται ένα κανονικό ν-γωνο  για κάθε τιμή του n.
Ο τύπος είναι :

 
 όπου
 
















 








Ένα πολύγωνο με 30 πλευρές τεμαχισμένο σε  21.480  μικράτμήματα από τις διαγώνιους του με 16.801 σημεία τομής των διαγωνίων του.

Περισσότερες πληροφορίες στην εργασία των  Bjorn Poonen και Michael Rubinstein στον παρακάτω σύνδεσμο:  http://math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...