«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Σάββατο, 7 Απριλίου 2012

Μαθήματα Ευρετικής. Μέρος εβδομο: ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΑΤΑ



    Κρυπτάριθμος  ή Κρυπτόγραμμα ή Αριθμόγραμμα είναι ένα είδος προβλήματος όπου τα αριθμητικά ψηφία σε μια  αλγεβρική  σχέση  έχουν αντικατασταθεί  από γράμματα ,κατά τέτοιο τρόπο, ώστε σε κάθε αριθμητικό ψηφίο να αντιστοιχίζεται αμφιμονοσήμαντα  ένα διαφορετικό γράμμα. Το ζητούμενο στο πρόβλημα η εύρεση των αριθμητικών ψηφίων. Αυτού του είδους τα προβλήματα σύμφωνα με τον J.A.H.Hunter συγγραφέα βιβλίων με γρίφους προέρχονται από την Αρχαία Κίνα  και στην αρχή ,απλά αποτελούσαν αναδιατυπωμένες αριθμητικές πράξεις ,με τα γράμματα  που αντικαθιστούν τα ψηφία να μην έχουν νόημα. Αργότερα εξελίχτηκαν έτσι ώστε να γίνουν  πιο ελκυστικά και να σχηματίζουν μια ή περισσότερες  λέξεις ή και ολόκληρες φράσεις . Αντιμετωπίζουμε συνήθως  τέτοια προβλήματα με παρατήρηση και αποκλεισμό περιπτώσεων . Ένα πολύ γνωστό αριθμόγραμμα από το βιβλίο του Α.Beiler  “Recreations in the Theory of Numbers” είναι το εξής :
 
Κρεοπώλης στις Η.Π.Α υποσχόταν ότι θα  έδινε C  μπριζόλες (C>2 ) σε εκείνον που θα υπολόγιζε την αριθμητική τιμή των γραμμάτων στο κλάσμα    
                                                              
(τα ανόμοια γράμματα  παρίσταναν διαφορετικούς αριθμούς ).
Σκεπτόμαστε ως εξής:
  Το C υποχρεωτικά θα είναι 3, είναι μεγαλύτερο του 2 και δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο του 3, γιατί τότε το PORK θα έπρεπε να είναι πενταψήφιος αριθμός.Αρα:

                     
και έχουμε:
                                           .
Άρα Κ=7( 3x9=27) και έχουμε και 2 κρατούμενα :
                                            

Αν  αντικαταστήσουμε το Ο με το Χ  (για να μην συμπίπτει το μηδέν με το όμικρον ), θα έχουμε:
 

Το 7Χ+R έχει για μεγαλύτερη τιμή  78+6=62
Άρα το Η μπορεί να είναι 0,1,2.
Αν Η=0 τότε 7Χ+R=2 άρα  Χ=0  Ατοπο(Η=0).
Αν Η=1, τότε 7Χ+R=32 άρα  Χ=4 και R=4  Άτοπο(X=R).
Αν Η=2, τότε 7Χ+R=62 άρα  Χ=8  και R=6  Δεκτό .
Η λύση λοιπόν είναι:
                                                       .

 Ένα από τα πιο γνωστά αριθμογράμματα  είναι  δημιούργημα  του Η.E. Dudeney  και υποτίθεται ότι αναγράφεται σε γράμμα  που έστειλε ένας φοιτητής στον πατέρα του ζητώντας χρήματα:

                                   

Για το παραπάνω αριθμογραμμα  σκεφτόμαστε ως εξής:


                     









                                                                                                       
                  
-Από την  την στήλη 5 προκύπτει ότι Μ=1  διότι μόνο 1 ως  κρατούμενο μπορεί να έχει το άθροισμα δυο μονοψήφιων αριθμών( S,M)  στην στήλη 4.
-Για να έχουμε κρατούμενο από το άθροισμα των αριθμών   της στήλης 4  τότε S+M είναι τουλάχιστον 9 ,άρα S+M είναι 9 ή 10 άρα το Ο είναι αντίστοιχα 0 η 1. Αλλά ήδη γνωρίζουμε ότι Μ=1 οπότε Ο=0.
-Αν  υπάρχει κρατούμενο από την στήλη 3  στην στήλη 4  τότε Ε=9 και έτσι Ν=0.Αλλά ξέρουμε  ήδη ότι Ο=0 οπότε δεν έχουμε κρατούμενο  και S=9.
-Αν  υπάρχει κρατούμενο από την στήλη 2  στην στήλη 3  τότε Ε=Ν  και έτσι Ν=0.Αλλά ξέρουμε  ήδη ότι Ο=0 οπότε δεν έχουμε κρατούμενο  και S=9  ,άτοπο .Έτσι υπάρχει  κρατούμενο και  Ν=Ε+1.
-Αν  δεν υπάρχει κρατούμενο από την στήλη 1  στην στήλη 2 τότε  το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ν+R με το 10 είναι  το Ε  και  Ν=Ε+1 έτσι  το υπόλοιπο της διαίρεσης  του Ε+1+R με το 10 είναι  το Ε   άρα R=9. Αλλά ήδη γνωρίζουμε ότι  S=9  τότε πρέπει να υπάρχει κρατούμενο  από την στήλη 1 στην στήλη 2  και τελικά R=8.
-Για να έχουμε κρατούμενο από την στήλη 1 στην στήλη 2  πρέπει να ισχύει D + E = 10 + Y. Όμως το Υ δεν μπορεί να είναι 0 ή 1 , D + E είναι τουλάχιστον  12.Αν D είναι το πολύ 7 τότε το Ε είναι τουλάχιστον 5.Το Ν είναι το πολύ 7 και ισχύει N = E + 1.Έτσι Ε είναι 5 η 6.
-Αν το Ε είναι 6 τότε για να είναι το άθροισμα D+E  τουλάχιστον 12, Τότε το D θα πρέπει να είναι 7.Αλλά N = E + 1 έτσι Ν θα είναι 7 το οποίο είναι άτοπο. Άρα Ε=5 και Ν=6
-Για να ισχύει D+E  τουλάχιστον 12 πρέπει να έχουμε D=7 και έτσι Y=2.
  Φυσικά είναι δυνατό με ένα κατάλληλο πρόγραμμα και την χρήση υπολογιστή να ελεγχθούν όλες οι δυνατές αντιστοιχίσεις των γραμμάτων  S,E,N,D,M,O,R,Y με τα αριθμητικά ψηφία 0,..,9  . Πρέπει να δοκιμάσει 1814400 περιπτώσεις αλλά η επιτυχία είναι δεδομένη.
Μια πολύ μεγάλη συλλογή  αριθμογραμμάτων μπορείτε να βρείτε στον ιστότοπο:
http://www.tkcs-collins.com/truman/alphamet/alphamet.shtml

Επίσης ένα έξυπνο αριθμογραμμα  ΕΔΩ 

και ΕΔΩ 

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...