Υπόλοιπο !!

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης 5^999,999/7 .

Όταν διαιρούμε διαδοχικά τις δυνάμεις του 6 με το 7 εμφανίζεται ο επαλαμβανόμενος κύκλος υπολοίπων   5,4,6,2,3,1,…… :

                                               5¹ / 7 = 0  με υπόλοιπο 5

5² / 7 = 3 με υπόλοιπο 4

5³ / 7 = 17 με υπόλοιπο 6

5⁴ / 7 = 89 με υπόλοιπο 2

5⁵ / 7 = 446 με υπόλοιπο 3

5⁶ / 7 = 2232 με υπόλοιπο 1

5⁷ / 7 = 11160 με υπόλοιπο 5

5⁸ / 7 = 55803 με υπόλοιπο 4

5⁹ / 7 = 279017 με υπόλοιπο 6

5¹⁰ / 7 = 1395089 με υπόλοιπο 2

…

Οπότε 999999/6 =166666 με υπόλοιπο 3 ,  άρα οι αριθμοί  5^999,999 και 5³ έχουν το ίδιο υπόλοιπο αν διαιρεθούν με το 7  και είναι ο αριθμός 6. ( Litton  math recreations 1971)