Ένα δημοφιλές πρόβλημα ψυχαγωγικών μαθηματικών του 6ου αιώνα βρίσκουμε στο βιβλίο του Κινέζου μαθηματικού Sun Tsu Suan Ching "Κλασσική Αριθμητική του Suan Ching ".
Η διατύπωση του έχει ως εξής :
" Εάν ένας πετεινός αξίζει 5 νομίσματα , μια κότα 3 νομίσματα , και τρία κοτόπουλα μαζί 1 νόμισμα, πόσους πετεινούς, κότες και κοτόπουλα, συνολικού πλήθους 100, μπορεί κάποιος να αγοράσει με 100 νομίσματα; "( τα πλήθη των πουλερικών είναι θετικοί ακέραιοι )
Το σύνθετο αυτό πρόβλημα με χρήση αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί να γραφεί:
όπου x, y, z ο αριθμός από πετεινούς,κότες και κοτόπουλα, αντίστοιχα.
Παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο εξισώσεις με τρεις άγνωστες ποσότητες. Έτσι, εξαλείφοντας έναν από τα αγνώστους, βάζοντας z=100-x-y από την δεύτερη εξίσωση στην πρώτη έχουμε:
Παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο εξισώσεις με τρεις άγνωστες ποσότητες. Έτσι, εξαλείφοντας έναν από τα αγνώστους, βάζοντας z=100-x-y από την δεύτερη εξίσωση στην πρώτη έχουμε:
Η οποία είναι μια γραμμική διοφαντική εξίσωση με δύο άγνωστους .
Έχουμε δυο επιλογές:
-Μπορούμε να την λύσουμε με στοιχειώδη σχολική άλγεβρα αν λάβουμε υπόψιν ότι καθένας από τα x,y,z είναι θετικός ακέραιος .
Από την εξίσωση 7x+4y=100 διαπιστώνουμε ότι ο x θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4. Αρα έχει την μορφή x=4k όπου k θετικός ακέραιος , με αντικατάσταση στην εξίσωση:
28k+4y=100 ή 7k+y=25 με τρεις ακέραιες λύσεις για το k=1 ή 2 ή 3.
και τελικά η λύση του προβλήματος είναι:
x y z
4 18 78
8 11 81
12 7 84
-Εναλλακτικά επειδή ακριβώς η 7χ+4y=100 είναι διοφαντική γραμμική εξίσωση έχει τη γενική λύση [WolframAlpha]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=7x%2B4y%3D100 Έχουμε δυο επιλογές:
-Μπορούμε να την λύσουμε με στοιχειώδη σχολική άλγεβρα αν λάβουμε υπόψιν ότι καθένας από τα x,y,z είναι θετικός ακέραιος .
Από την εξίσωση 7x+4y=100 διαπιστώνουμε ότι ο x θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4. Αρα έχει την μορφή x=4k όπου k θετικός ακέραιος , με αντικατάσταση στην εξίσωση:
28k+4y=100 ή 7k+y=25 με τρεις ακέραιες λύσεις για το k=1 ή 2 ή 3.
και τελικά η λύση του προβλήματος είναι:
x y z
4 18 78
8 11 81
12 7 84
-Εναλλακτικά επειδή ακριβώς η 7χ+4y=100 είναι διοφαντική γραμμική εξίσωση έχει τη γενική λύση [WolframAlpha]
x=4t και y=25-7t , έτσι ώστε z=75-3t όπου t είναι ακέραιος.
(Για την μέθοδο επίλυσης τέτοιου είδους εξισώσεων ΔΕΙΤΕ ΕΔΩ )
Τώρα, εφόσον x,y,z είναι ο αριθμός των πουλερικών τότε x,y,z >0 και έτσι 4t >0 ,25-7t >0 και 75-3t>0 που σημαίνει ότι 0<t<25/7 Και επειδή t πρέπει να έχει ακέραιες τιμές, έχουμε t = 1,2,3. Η οποία δίνει τις ακόλουθες τρεις λύσεις:
t
|
Πετεινοί(x=4t)
|
Κότες (y=25-7t)
|
κοτόπουλα (z=75-3t)
|
1
|
4
|
18
|
78
|
2
|
8
|
11
|
81
|
3
|
12
|
4
|
84
|
Έτσι, υπάρχουν τρεις τρόποι για την επιλογή του αριθμού των πετεινών , τις κότες και τα κοτόπουλα, συνολικού πλήθους 100 με το αντίτιμο 100 νομίσματα.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου