«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Παρασκευή, 18 Μαΐου 2012

Οι εκατό Πετεινοί (The Hundred Fowls)!!! Eνα πρόβλημα από τον Κινέζο μαθηματικό του 6ου αιώνα Sun Tsu Suan Ching!!!





  Ένα δημοφιλές πρόβλημα ψυχαγωγικών μαθηματικών  του 6ου  αιώνα βρίσκουμε στο βιβλίο του Κινέζου μαθηματικού  Sun Tsu Suan Ching  "Κλασσική Αριθμητική του Suan Ching ".
Η διατύπωση του έχει ως εξής :



" Εάν ένας πετεινός  αξίζει 5 νομίσματα , μια κότα 3 νομίσματα , και τρία κοτόπουλα μαζί 1 νόμισμα, πόσους πετεινούς, κότες και κοτόπουλα, συνολικού πλήθους 100, μπορεί κάποιος  να αγοράσει με  100 νομίσματα; "( τα πλήθη των πουλερικών είναι θετικοί ακέραιοι )

  Το σύνθετο αυτό πρόβλημα με χρήση  αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί να γραφεί:


 
όπου x, y, z ο αριθμός από πετεινούς,κότες και κοτόπουλα, αντίστοιχα.
  Παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο εξισώσεις με τρεις άγνωστες ποσότητες. Έτσι, εξαλείφοντας έναν από τα αγνώστους, βάζοντας  z=100-x-y  από την δεύτερη εξίσωση στην πρώτη  έχουμε:

 

Η οποία είναι μια γραμμική διοφαντική  εξίσωση με δύο άγνωστους .
Έχουμε δυο επιλογές:
-Μπορούμε να την λύσουμε με στοιχειώδη σχολική άλγεβρα αν λάβουμε υπόψιν ότι καθένας  από τα x,y,z είναι θετικός ακέραιος  .
Από την εξίσωση  7x+4y=100  διαπιστώνουμε ότι  ο x θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4. Αρα έχει την μορφή x=4k  όπου k θετικός ακέραιος , με αντικατάσταση στην εξίσωση:

28k+4y=100   ή   7k+y=25  με τρεις  ακέραιες  λύσεις για το k=1 ή 2 ή 3.
και τελικά η λύση του προβλήματος είναι:
x              y                  z
4              18               78
8              11                81
12              7                84

-Εναλλακτικά επειδή ακριβώς η  7χ+4y=100 είναι διοφαντική γραμμική εξίσωση  έχει τη γενική λύση [WolframAlpha]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=7x%2B4y%3D100
x=4t   και y=25-7t , έτσι ώστε z=75-3t όπου t είναι ακέραιος.
(Για την μέθοδο επίλυσης  τέτοιου είδους εξισώσεων ΔΕΙΤΕ ΕΔΩ )
Τώρα, εφόσον  x,y,z είναι ο αριθμός των πουλερικών  τότε x,y,z >0  και έτσι 4t >0 ,25-7t >0 και 75-3t>0  που σημαίνει ότι   0<t<25/7 Και επειδή t πρέπει να έχει  ακέραιες τιμές, έχουμε t = 1,2,3.  Η οποία δίνει τις ακόλουθες τρεις λύσεις:
t
 Πετεινοί(x=4t)
Κότες  (y=25-7t)
κοτόπουλα (z=75-3t)
1
4
18
78
2
8
11
81
3
12
4
84

   Έτσι, υπάρχουν τρεις τρόποι για την επιλογή του αριθμού των πετεινών , τις κότες και τα κοτόπουλα, συνολικού πλήθους  100  με το αντίτιμο  100 νομίσματα.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...