Παράδοξο;;;

Ρέιμοντ Σμούλιαν

 Ένα παράδοξο από τον Ρέιμοντ Σμούλιαν που το παρουσίασε στην  πρώτη συγκέντρωση προς τιμήν του Μάρτιν Γκαρντνερ :

 Έστω δυο  θετικοί αριθμοί , α και β . Ο ένας είναι διπλάσιος από τον άλλο αλλά δεν  γνωρίζουμε ποιος από τους δυο είναι ο μεγαλύτερος.

-Αν ο α είναι μεγαλύτερος από τον β, τότε προφανώς  α=2β  άρα η "αριθμητική υπεροχή" του α από τον β ισούται με β. Από την άλλη , αν ο β είναι μεγαλύτερος από τον α, τότε  α=0.5β ,  και  η αριθμητική υπεροχή του β από τον α είναι  β-0.5β=0.5β.   Προφανώς και ισχύει ότι β είναι μεγαλύτερο από το 0.5β, άρα γενικεύοντας μπορούμε να ισχυριστούμε ότι  η αριθμητική υπεροχή του α από το β , αν α είναι μεγαλύτερη από το β , είναι μεγαλύτερη από την αριθμητική υπεροχή του β από το α ,αν β μεγαλύτερο του  α.

-Έστω δ η διαφορά  ανάμεσα στα α,β. Από υπόθεση η διαφορά είναι ιση με τον μικρότερο από τους δυο αριθμούς .Άρα μπορούμε να ισχυριστούμε η αριθμητική υπεροχή  του α από τον β, αν α μεγαλύτερος του β είναι ιση με την αριθμητική υπεροχή του β από το α, αν β μεγαλύτερο του α.

  Παρατηρείτε ότι έχουμε  αντιφατικά συμπεράσματα. Ο Σμουλίαν ευφυώς «μπουρδουκλώνει» τους ισχυρισμούς του και καταλήγει σε αντίφαση.