«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Τρίτη, 26 Ιουνίου 2012

Ο σπόγγος του Μengel , ένα fractal στις 3 διαστάσεις !!




   Ο μαθηματικός Κarl Menger (1902-1985)  φαντάστηκε ένα εντυπωσιακό πολυεδρικό «σφουγγάρι»  που στις μέρες μας  θεωρείται το πρώτο μορφοκλασματικό σχήμα  (fractal)  στο χώρο της τρίτης διάστασης .
Ας  θεωρήσουμε ένα κύβο  πλευράς 1 και ας τον διαιρέσουμε σε 33=27 μικρούς κύβους .Εάν αφαιρέσουμε τον μικρό κεντρικό κύβο  και τους έξι κύβους  που είναι σε επαφή με τις έδρες του , μένει ένας διάτρητος κύβος  που αποτελείται από  20 μικρούς κύβους  πλευράς 1/3. Αν επαναλάβουμε την διαδικασία για τον καθένα από τους  20 κύβους  θα έχουμε 20x20=400  μικρούς κύβους πλευράς  (1/3)x(1/3)=1/9. Στην  συνέχεια , επαναλαμβάνοντας  την διαδικασία θα δημιουργήσουμε   400x20=8000 μικρότερους κύβους  πλευράς (1/3)3=1/27   και   συνεχίζουμε  επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία .



 Παρατηρούμε ότι ,κάθε  μικρός κύβος θα εχει το ίδιο σχήμα με τον αρχικό ( αυτοομοιότητα) .



 Αξιοσημείωτο επίσης είναι ,ότι ,καθώς η διαδικασία επαναλαμβάνεται επ' άπειρον , η επιφάνεια του σπόγγου αυξάνει στο άπειρο  ενώ ο όγκος του τείνει στο μηδέν.

                                                  


                     

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...