Ένα πρόβλημα απο το Liber Abaci !!

liber Abaci

  Ένα προβληματάκι από το liber Abaci  του Leonardo Pisano Fibonacci (1175– 1240):

 «Ανάμεσα σε δυο πύργους  που έχουν ύψος  40 και 30 μέτρα αντίστοιχα και απέχουν μεταξύ τους  50 μέτρα, υπάρχει ένα σιντριβάνι. Δυο περιστέρια που πετούν από τους  δυο πύργους προς τα κάτω, με την ίδια ταχύτητα, φτάνουν στο σιντριβάνι ταυτόχρονα. Πόσο απέχει το σιντριβάνι από τους δυο πύργους ;»

Λύση

 Στο παρακάτω  σχήμα ονομάζουμε ΑΒ και ΓΔ τους πύργους των 30 και 40 μέτρων αντίστοιχα. Αν Σ  η θέση του σιντριβανιού, ονομάζουμε ΑΣ=y ,άρα  ΣΓ=50-y . Ονομάζουμε ΒΣ=ΣΔ=x ( τα περιστέρια ξεκινούν ταυτόχρονα με την ίδια ταχύτητα και φτάνουν ταυτόχρονα άρα διένυσαν την  ίδια απόσταση x) .Με την εφαρμογή του πυθαγορείου θεωρήματος  στα ορθογώνια τρίγωνα  ΑΒΣ και ΣΔΓ παίρνουμε τις σχέσεις : 30²+y²=x²    και   (50-y)²+40²=x²  Άρα   30²+y²=(50-y)²+40²  από την λύση της τελευταίας  προκύπτει  y=32 μέτρα .Δηλαδή το σιντριβάνι  Σ  απέχει από τις βάσεις 32  και 18 μέτρα αντίστοιχα.