«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Πέμπτη, 27 Σεπτεμβρίου 2012

Μια τέταρτη δύναμη!!





 "Να αποδείξετε ότι το γινόμενο  8 διαδοχικών φυσικών αριθμών δεν μπορεί να ισούται με την τέταρτη δύναμη φυσικού αριθμού."
                                                American Mathematical Monthly, 1956

 Η λύση στα σχόλια



1 σχόλιο:







  1. Λύση
    Έστω x ο μικρότερος από τους 8 αριθμούς (με x ≥ 1) τότε το γινόμενο Γ είναι:
    Γ = [x(x + 7)][(x + 1)(x + 6)][x + 2)(x + 5)][(x + 3)(x + 4)] =
    = (x2 + 7x)(x2 + 7x + 6)(x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12).
    Θέτουμε x2 + 7x + 6 = y και έχουμε :
    Γ = (y – 6)(y)(y+ 4)(y + 6) = (y2 – 36)(y2 + 4y) = y4 + 4y(y+ 3)(y – 12).
    Αν y = x2 + 7x + 6 και x ≥ 1 τότε προκύπτει y – 12 >0.
    Έτσι Γ > y4. (1)
    Όμως, Γ = y4 + 4y3 – 36y2 – 144y και (y + 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + 1.
    Οπότε Γ< (y+ 1)4 (2)
    Από (1),(2) έπεται ότι: y4 < Γ < (y + 1)4
    Τελικά για κάθε φυσικό αριθμό x ≥ 1 το γινόμενο Γ πάντα θα είναι ανάμεσα σε δυο τέταρτες δυνάμεις διαδοχικών φυσικών.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...