«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Πέμπτη, 6 Δεκεμβρίου 2012

Τριγωνομετρία , το τηλεσκόπιο των αρχαίων!!!




   Η  επιστήμη της τριγωνομετρίας  υπήρξε κατά κάποιο τρόπο ο προάγγελος του τηλεσκοπίου. Επέτρεψε τη μέτρηση μακρινών αντικειμένων και έδωσε τη δυνατότητα στον άνθρωπο να διεισδύσει στα άδυτα του διαστήματος .Χαρακτηριστικό παράδειγμα ο  Ερατοσθένης ο Κυρηναιος ( 276 π.χ-194 π.χ).

 Ο Ερατοσθένης  προσδιόρισε με μοναδική ακρίβεια για τα δεδομένα της εποχής που έζησε την ακτίνα της Γης .Πρώτα προσδιόρισε μια συγκεκριμένη ημέρα του έτους κατά την οποία ο Ήλιος  το μεσημέρι βρισκόταν κατακόρυφα πάνω στην Συηνη, μια πόλη της Νότιας Αιγύπτου, το σημερινό Ασουάν.Την μέρα αυτή φρόντισε  να βρίσκεται 800 km  βόρεια στην Αλεξάνδρεια όπου το μεσημέρι βρήκε ότι η γωνία φ που σχηματίζει ένας πάσσαλος με την ευθεία που διέρχεται από το άκρο του  και το άκρο της σκιάς  του είναι περίπου  ίση με 7,2ο .( Σχημα)
   Ο Ερατοσθένης ισχυρίστηκε ότι  μπορεί να θεωρήσει ότι η γωνία φ  είναι ίση με την επίκεντρη γωνία της γης  που βαίνει στο τόξο Σηύνη –Αλεξάνδρεια .Διότι οι ακτίνες φωτός  ΗΚ και ΗΛ ( βλέπε σχήμα)  τέμνονται θεωρητικά  στο κέντρο του ηλίου .
Με δεδομένο ότι ο Ήλιος  βρίσκεται πολύ μακριά από την Γη , μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οι ευθείες  ΗΚ και ΗΛ είναι παράλληλες .Άρα η ευθεία ΚΛ , ως τέμνουσα δυο παράλληλων  σχηματίζει  με τις ΗΛ και ΗΚ ισες εντος εναλλάξ γωνίες .Αυτό σημαίνει ότι η γωνία φ μπορεί να θεωρηθεί ίση  με την επίκεντρη γωνία της γης  που βαίνει στο τόξο Συήνη –Αλεξάνδρεια .
Έτσι ο Ερατοσθένης  για να μετρήσει την ακτίνα της Γης βρήκε τον εξής τρόπο :
   Η επίκεντρη γωνία φ=7,2ο  βαίνει σε τόξο μήκους 800 km. Άρα  επίκεντρη γωνία 1ο βαίνει σε τόξο  μήκους 800/7,2 km  και συνεπώς η πλήρης γωνία 360ο   βαίνει σε τόξο μήκους: ( 800/7,2) 360 km. Αυτό όμως σημαίνει ότι  η περιφέρεια της γης έχει μήκος 40000 km  αρα η ακτίνα της  ρ=(40000/2π)=6370 km  


                   
Η ανάρτηση  έχει σαν κύριο αποδέκτη  τους μαθητές  του  Ε2  που   με ρώτησαν για τον Ερατοσθένη και χτύπησε το κουδούνι... 


2 σχόλια:

  1. Γιώργος Ριζόπουλος8 Δεκεμβρίου 2012 - 12:57 π.μ.

    Πολύ ωραίο! Επίτρεψέ μου να κάνω μια μικρή επέκταση στο θέμα που νομίζω θα αρέσει και στους μαθητές σου! :-) Συνδέει δε ,την μέτρηση του Ερατοσθένη με σημαντικότατα γεγονότα αιώνες αργότερα.
    Η μέτρηση του Ερατοσθένη βασίζεται σε ολόσωστη επιστημονική βάση , αλλά η επιτόπου εφαρμογή της και κατά συνέπεια το αποτελεσμά της θεωρήθηκε από τον Πτολεμαίο λάθος, γιατί το engineering approximation που λέμε εμείς οι μπετατζήδες ήταν πολύ «χοντρό». Κι ο Πτολεμαίος είχε δίκιο! Η απόσταση Αλεξάνδρειας –Ασουάν μετρήθηκε από βαδιστές και υπήρχε μια απόκλιση αρκετών χιλιομέτρων από τη σωστή. Επίσης υπήρχαν διαφορές στα υποτιθέμενα, από τα σωστά γεωγραφικά μήκη και πλάτη, θέματα ακριβειας/αλφαδιάς του γνώμονα που δινει τη σκιά κ.α. Παρολαυτά (όπως γίνεται στην επιστήμη καμιά φορά) τα μικρολαθακια/αποκλίσεις αυτές αλληλοεξουδετερώθηκαν επι το θετικόν με συνέπεια η προσέγγιση του Ερατοσθένη για την περιφέρεια της Γης να ήταν τελικά πολύ καλή.
    Η άποψη όμως κυρίως του Πτολεμαίου για «τζούφια» ως προς την ορθότητά της μέτρηση διαιωνίστηκε και η σχετική γνώση του θέματος έφτασε ως την εποχή των Reyes Catolicos και του Κολόμβου, όπου κυριάρχησε στους κύκλους της εποχής ότι η μέτρηση του Ερατοσθένη ήταν λάθος και ότι η «πραγματική» περίμετρος της Γης ήταν περίπου το 1/3 από αυτή που είχε υπολογίσει ο Αλεξανδρινός. Αλλιώς, σιγά να μην ξεκινούσε ο Κολόμβος!
    Αξίζει εδώ επίσης μια σχετική αναφορά στον μεταγενέστερο φιλόσοφο και αστρονόμο Ποσειδώνιο (γενν. Στην Απάμεια της Συρίας γυρω στο 135 π.Χ) Δεινός μαθηματικός και αστρονόμος, σύντομα προβληματίστηκε με το μέγεθος της γης. Είχε ήδη προηγηθεί η μέτρηση του Ερατοσθένη, αλλά ο Ποσειδώνιος (με έδρα πλέον τη Ρόδο) θέλει ακριβέστερη μέθοδο, ανεξάρτητη από τη σκιά του γνώμονα στο έδαφος. Η λύση είναι ο Κάνωπος ή Κάνωβος (Canopus), το πιο λαμπρό αστέρι στον αστερισμό της Αργώς, που είναι κυρίως γνωστό στο νότιο ημισφαίριο (είναι το «νοτιοδυτικό» μεγάλο αστέρι στη σημαία της Βραζιλίας (για τους ποδοσφαιρόφιλους!):-)
    Η μέθοδος του Ποσειδώνιου (ουσιαστικά δηλαδή το να συσχετίσει το γωνιακό ύψος αστέρα με την περιφέρεια της Γης) είναι εξίσου ευφυής και γεωμετρικά σωστή με εκείνη του Ερατοσθένη αλλά δυστυχώς δεν είναι ακριβέστερη γιατί δεν λαμβάνει υπόψι το φαινόμενο της ατμοσφαιρικής διάθλασης. Λόγω της διάθλασης, ένας αστέρας που τον παρατηρούμε στον ορίζοντα, βρίσκεται χαμηλότερα στην πραγματικότητα από την φαινόμενη θέση του. Έτσι, η γωνία ήταν περισσότερο οξεία από όσο είχε υπολογίσει ο Ποσειδώνιος, με αποτέλεσμα να περάσει (μέσω Κλαύδιου Πτολεμαίου και Στράβωνα που επαλήθευσαν τους υπολογισμούς του Ποσειδώνιου) μια εντύπωση για μικρότερη του πραγματικού Γη, άποψη που έφτασε ως τις μέρες του Κολόμβου και του Πάολο Τοσκανέλι.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...