Μαθήματα ευρετικής από τον Διόφαντο!!

Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς

                                                                                                             
   "Διαβάτη, σε αυτόν τον τάφο αναπαύεται ο Διόφαντος. Σε εσένα που είσαι σοφός, η επιστήμη θα δώσει το μέτρο της ζωής του. Άκουσε. Οι θεοί του επέτρεψε να είναι νέος για το ένα έκτο της ζωής του. Ακόμα ένα δωδέκατο και φύτρωσε το μαύρο γένι του. Μέτα από ένα έβδομο ακόμα, ήρθε του γάμου του η μέρα. Τον πέμπτο χρόνο αυτού του γάμου, γεννήθηκε ένα παιδί. Τι κρίμα, για το νεαρό του γιο. Αφού έζησε μονάχα τα μισά χρόνια από τον πάτερα του, γνώρισε την παγωνιά του θανάτου. Τέσσερα χρόνια αργότερα, ο Διόφαντος βρήκε παρηγοριά στη θλίψη του, φτάνοντας στο τέλος ζωής του."
     
                                                                    Επιγραμμα από την Παλατινή ανθολογία(500 μ.χ)

   Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς ήταν Έλληνας μαθηματικός του τρίτου αιώνα ( 210 – 290), ο οποίος έζησε στην Αλεξάνδρεια της Ρωμαϊκής Αιγύπτου. Έχει αποκληθεί «πατέρας της άλγεβρας» εξαιτίας του έργου του «Αριθμητικά», όπου περιέχονται αλγεβρικά προβλήματα τα οποία λύνονται με εξισώσεις και συστήματα πρώτου και δευτέρου βαθμού. Τα «Αριθμητικά» του αποτελούνται από δεκατρία βιβλία  από τα οποία διατηρούνται έξι . Από την μετάφραση του  1963 στα Νέα Ελληνικά  από τον Ε. Σταμάτη σταχυολογώ  το πρόβλημα 32 του 2^ου βιβλίου :

  «Βρείτε τρεις αριθμούς έτσι ώστε το τετράγωνο οποιουδήποτε από αυτούς  αν προστεθεί στον επόμενο, να μας δίνει ένα τετράγωνο.»

 Ο Διόφαντος προτείνει μια λύση για το παραπάνω πρόβλημα που φανερώνει ότι υπήρξε μοναδικός αλγοριθμιστής!! Προτείνει το εξής :

« Έστω x ο πρώτος ,2x+1 ο δεύτερος και 2(2x+1)+1 ή , ισοδύναμα ,4x+3  ο τρίτος , έτσι ώστε  να πληρούνται οι δυο συνθήκες .Η τελευταία συνθήκη δίνει (4χ+3)²+x=τετράγωνο και έστω τετραγωνο=(4χ+4)².Τοτε χ=7/57 ,και οι αριθμοί είναι 7/57,71/57,199/57»

 
   Τι εννοεί ο ποιητής; Τον πρώτο αριθμό τον ονόμασε x .Τον δεύτερο αριθμό θα μπορούσε να τον ονομάσει με πολλούς τρόπους ,αλλά αποφάσισε να τον ονομάσει 2x+1 επειδή γνώριζε  ότι x²+2x+1=(x+1)², και συνεπώς είχε ήδη ικανοποιηθεί η πρώτη συνθήκη. Στην συνέχεια , τον τρίτο αριθμό  θα μπορούσε να τον ονομάσει  όπως ήθελε , αλλά επέλεξε να τον ονομάσει 2(2x+1)+1 δηλαδή 4x+3, επειδή  ήξερε ότι (2x+1)²+2(2x+1)+1=(2x+2)², και συνεπώς ικανοποιείται και η δεύτερη συνθήκη. Του έμενε  μόνο να ικανοποιήσει την τρίτη συνθήκη, δηλαδή η παράσταση (4x+3)²+x να ισούται με ένα τέλειο τετράγωνο. Εδώ ο Διόφαντος προσθέτει την τελευταία πινελιά καθώς σκέφτηκε ότι αυτό το τετράγωνο θα μπορούσε να είναι της μορφής (4x-4) , επειδή έτσι θα μπορούσε να λύσει εύκολα το πρόβλημα με την επίλυση μιας απλής πρωτοβάθμιας  εξίσωσης

(4x+3)²+x=(4x-4)²   ή

16x²+24x+9+x=16x² -32x+16   ή

24x+9+x= -32x+16     ή

24x+32x+x= 16 -9    ή

57x= 7 ή

x=7/57

Που είναι η τιμή του πρώτου αριθμού που αναζητούσαμε .Εύκολα με αντικατάσταση  βρίσκουμε τους άλλους δυο αριθμούς :

 2x+1=  2(7/57)+1=71/57

4x+3=4(7/57)+3=199/57

 Πραγματικά οι τρεις αριθμοί  ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος

 (7/57)²+71/57=(64/57)²

(71/57)²+199/57=(128/57)²

(199/57)²+7/57=(200/57)²

Προφανώς και δεν είναι η μοναδική τριάδα λύσεων αν έθετε σαν τρίτο αριθμό το 4x-5 ή το 4x-6 θα μπορούσε να βρει και άλλες λύσεις.

 Τα "Αριθμητικα" μπορειτε να τα βρειτε ΕΔΩ