Ένα..παράδοξο!!

                                

 Ενα ωραίο παράδοξο από το βιβλίο του E.P.Northrop  "Μαθηματικοί γρίφοι:Ένα βιβλίο  παραδόξων"(Riddles in Mathematics: A Book of Paradoxes) 
Αρχικά ο Northrop θέτει τα ερωτήματα:

1.Επιλέγεται τυχαία ένας πραγματικός αριθμός –ρητός είτε άρρητος–ανάμεσα στο 0 και το 10.Ποια είναι η πιθανότητα να είναι μεγαλύτερος του 5;

2.Επιλέγεται τυχαία ένας  πραγματικός αριθμός –ρητός είτε άρρητος –ανάμεσα στο 0 και το 100.Ποια είναι η πιθανότητα να είναι μεγαλύτερος του 25;

Η απάντηση σε καθένα από τα δυο ερωτήματα είναι σχετικά απλή.

 Στο πρώτο ερώτημα παρατηρούμε ότι ο αριθμός 5 χωρίζει το διάστημα (0,10)  σε δυο ισοπλατή διαστήματα, αρα αν ένας αριθμός επιλεγεί στην τύχη από αυτό το διάστημα είναι το ίδιο πιθανό να είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος του 5.

 Στο δεύτερο ερώτημα βλέπουμε ότι το διάστημα (25,100)  έχει τρεις φορές μεγαλύτερο πλάτος από το διάστημα ( 0,25) .Έτσι ένας τυχαίος αριθμός ανάμεσα  στο 0 και 100  είναι τρεις φορές πιθανότερο να επιλεγεί από το διάστημα (25,100).
 Οπότε η ζητούμενη πιθανότητα στο 1ο και το 2ο ερώτημα είναι 1/2 και 3/4 αντίστοιχα.

Από την άλλη όμως παρατηρούμε ότι:
Το τετράγωνο κάθε αριθμού στο διάστημα (0,5) ανήκει στο διάστημα (0,25) ,επίσης το  τετράγωνο κάθε αριθμού στο διάστημα (5,10) ανήκει στο διάστημα (25,100). 
Η παρατήρηση αυτή ,όμως δεν καθιστά τόσο απλή την απάντηση στα παρακάτω δυο ερωτήματα.

3.Ποια είναι η πιθανότητα το τετράγωνο ενός αριθμού που επιλέγεται τυχαία στο διάστημα (0,10)  είναι μεγαλύτερο από 25;

4. Ποια είναι η πιθανότητα η τετραγωνική ρίζα  ενός  αριθμού που επιλέγεται τυχαία στο διάστημα (0,100)  είναι μεγαλύτερο από 5;

  Τo πανηγύρι τώρα αρχίζει ...τα τετράγωνα των αριθμών στο διάστημα (5,10) καταλαμβάνουν τα τρία τέταρτα  του διαστήματος (0,100) ,αλλά ,οι αριθμοί αυτοί καθαυτοί (στο  διάστημα ( 0,5) ) καταλαμβάνουν το μισό του διαστήματος (0,10).
Έτσι η απάντηση στην τρίτη ερώτηση είναι ¾ ή ½ ;
 Η απάντηση στην τετάρτη ερώτηση είναι ¾ ή ½;

Τι έχει συμβεί;Οι απαντήσεις  που δόθηκαν είναι αντιφατικές γιατί  θεωρήσαμε –λανθασμένα- ότι τα τετράγωνα και οι τετραγωνικές ρίζες των πραγματικών αριθμών κατανέμονται ομοιόμορφα στον πραγματικό άξονα  όπως και οι ίδιοι οι αριθμοί.

 Ένα παραπλήσιο πρόβλημα στον παρακάτω σύνδεσμο:

T. Khovanova, MartinGardner's Mistake, The College Mathematics Journal, 
Δείτε και τι γράφει ο  Northrop.