Μαθη...μαγικά : Ο Πασκάλ, η Πασκαλίνα, ένα διάσημο τρίγωνο και το κενό στο κεφάλι του !

Σάββατο 1 Φεβρουαρίου 2014

Ο Πασκάλ, η Πασκαλίνα, ένα διάσημο τρίγωνο και το κενό στο κεφάλι του !

Μπλαιζ Πασκάλ [1623 –1662)

" Δεν μπορώ να συγχωρέσω τον Καρτέσιο ,σε όλη τη φιλοσοφία του, θα ήθελε πολύ ν’ αντιπαρέλθει το Θεό ˙ αλλά δε μπόρεσε να μην Τον βάλει να ρίχνει μια με τη μύτη για να θέσει τον κόσμο σε κίνηση ˙ μετά ταύτα, δεν έχει πια τι να Τον κάνει το Θεό."

Μπλαιζ Πασκάλ "Στοχασμοί"

Ο Μπλαιζ Πασκάλ (ή όπως τον βρήκα σε ένα ιστολόγιο:Βλάσιος Πασκάλ) γεννήθηκε το 1623, στο Κλερμόν της Γαλλίας. Η μητέρα του πέθανε όταν ήταν πολύ μικρός, οπότε τον ανέθρεψε και τον μόρφωσε ο πατέρας του, δικηγόρος και ερασιτέχνης μαθηματικός.Ο πατέρας του είχε μάλλον ανορθόδοξες απόψεις για την διδασκαλία. Πίστευε ότι ο Μπλαιζ δεν έπρεπε να διδαχτεί μαθηματικά προτού γίνει 15 ετών, οπότε απομάκρυνε κάθε βιβλίο μαθηματικών από το σπίτι.Επόμενο ήταν, ο Μπλαιζ να γίνει πολύ περίεργος σχετικά με το απαγορευμένο αυτό θέμα και έμαθε μόνος του γεωμετρία.Ένα έξυπνο τέχνασμα για νέους μπαμπάδες που θέλουν να μυήσουν αναίμακτα τα παιδιά τους τα μαθηματικά, όπως και να’χει, μέχρι την ηλικία των 12 ετών ο Βλάσιος είχε ανακαλύψει ότι το άθροισμα των γωνιών τριγώνου ισούται με δυο ορθές γωνίες. Όταν ο πατέρας του Πασκάλ ανακάλυψε την πρόοδο του γιου του,υποχώρησε(!!) και του έδωσε να διαβάσει τα έργα του Ευκλείδη. Δεν πέρασε πολύς καιρός πριν ο Βλάσιος αρχίσει να συνοδεύει τον πατέρα του σε συναντήσεις μαθηματικών και να παρουσιάζει τα δικά του γεωμετρικά θεωρήματα .

Όταν ο Μπλαιζ ήταν 16 ετών, ο πατέρας Πασκάλ βρήκε δουλειά φοροεισπράκτορα στην πολη Ρουεν. Ένα χρόνο αργότερα ο Πασκάλ εξέδωσε το πρώτο του έργο πάνω στην γεωμετρία.Μέχρι την ηλικία των 22 είχε εφεύρει μια μηχανική συσκευή αριθμητικών υπολογισμών για να βοηθήσει τον πατέρα του στους χρηματικούς υπολογισμούς. Μια μηχανή που την ονόμασε Πασκαλίνα. Οι υπολογισμοί αυτοί ήταν δύσκολοι λόγω του Γαλλικού νομισματικού συστήματος το οποίο βασιζόταν στο 12 και στο 20.

Δυο σχετικά βίντεο για την πασκαλίνα:

Ένα χρόνο αργότερα, ο πατέρας του έσπασε το πόδι του και τον φρόντιζαν δυο μοναχοί από ένα θρησκευτικό τάγμα της περιοχής.Αυτό επηρέασε έντονα τον Πασκάλ ,ο οποίος άρχισε να γίνεται βαθιά θρησκευόμενος και αποφάσισε να συλλογιστεί για την άνοδο και την πτώση του ανθρώπινου σαρκίου.

Μελέτησε την ατμοσφαιρική πίεση και απέδειξε ότι η ύπαρξη κενού ήταν δυνατή.Ο Καρτέσιος τον αμφισβήτησε δηλώνοντας σκωπτικά ότι ο Βλάσιος είχε «πολύ κενό μέσα στο κεφάλι του».
Ο Μπελ στο περίφημο δίτομο του για τους μεγάλους μαθηματικούς παρατηρεί ότι ο Πασκάλ αποτέλεσε την μεγαλύτερη "ανεκπλήρωτη μαθηματική δυνατότητα"της ιστορίας.

Θεμελίωσε μαζί με τον Φερμά την θεωρία πιθανοτήτων,εργαζόμενος στο διάσημο πρόβλημα των πόντων του ιππότη Σεβαλιε Ντε μερ όμως υπήρξε ιδιοφυής στην Γεωμετρία και μόνο η έλλειψη στοχοπροσηλωσης και η αλλαγή ρότας σε άλλα ενδιαφέροντα -μη μαθηματικά- τον σταμάτησε από το να κλέψει την δόξα από την Καρτέσιο για την θεμελίωση της αναλυτικής γεωμετρίας.Το αποτέλεσμα είναι, να μνημονεύεται στον μέσο άνθρωπο περισσότερο για τα δυο κλασσικά φιλολογικού -λογοτεχνικού χαρακτήρα έργα του, τους "Στοχασμούς" και τα "Γράμματα σε ένα επαρχιώτη φιλο" παρά για το μαθηματικό του έργο.

Ο Κικέρωνας έγραφε "η πιθανότητα είναι η ίδια ο οδηγός της ζωής".Ένα τυχαίο γεγονός αποτέλεσε το καταλύτη για την στροφή του Πασκάλ στην θρησκεία.Σε μια διαδρομή με άμαξα,τα αλόγα αφηνιασαν, η άμαξα ανατράπηκε σε μια γέφυρα στο Σηκουάνα και ο Πασκάλ βρέθηκε να κρέμεται στο κενό.Όμως κατάφερε να σωθεί δίχως γρατζουνιά και απέδωσε το γεγονός σε θεία παρέμβαση.Σε συνδυασμό,με την κακή υγεία του και τους χρόνιους πόνους στο στομάχι σταδιακά εγκατέλειψε τα μαθηματικά.Πέρασε τα τελευταία χρόνια της ζωής του κάνοντας αγαθεργιες.Πέθανε 39 ετών.

"Για να είναι κανείς άθεος , χρειάζεται πάρα πολλή πίστη σε απίθανα πράγματα ! ''

Μπλαιζ Πασκάλ

Δεν παραλείπω,ότι, στους στοχασμούς του,χρησιμοποιεί τις πιθανότητες για να "αποδείξει" την αλήθεια του δόγματος της καθολικής εκκλησίας.Η συλλογιστική του είναι γνωστή ως "το στοίχημα του Πασκάλ".Γράφει λοιπόν:

" Κανείς δεν μπορεί να αποφασίσει χωρίς αμφιβολία εάν πρέπει να αποδεχτεί ή να απορρίψει το δόγμα της καθολικής εκκλησίας.Μπορεί να είναι αληθινό.Μπορεί να είναι ψευδές.Είναι σαν να ρίχνεις ένα νόμισμα: οι πιθανότητες είναι ίσες .Όμως, είναι ίσες και οι απώλειες και τα κέρδη; Ας υποθέσουμε ότι απορρίπτουμε την εκκλησία.Αν το δόγμα της είναι ψευδές , δεν θα έχουμε χάσει τίποτα. Όμως εάν είναι αληθινό , θα πρέπει να αντιμετωπίσουμε ατελείωτα βάσανα στην κόλαση.Ας υποθέσουμε ότι αποδεχόμαστε το δόγμα της εκκλησίας. Αν είναι ψευδές , δεν θα έχουμε κερδίσει τίποτα. Όμως εάν είναι αληθινό, θα έχουμε την αιώνια ευδαιμονία στον παράδεισο."

Η συλλογιστική αυτή έχει χρησιμοποιηθεί συχνά για να προκαλέσει την εκπλήρωση των θρησκευτικών εντολών: αν και η πιθανότητα ότι είναι αληθινές είναι μικρή, επειδή το αναμενόμενο κέρδος από την εκπλήρωση τους είναι άπειρο, η ελπίδα του στοιχήματος αξίζει τον κόπο. Ένας διαισθητικός συλλογισμός του ιδίου τύπου είναι αυτός που γίνεται κοινωνικά με τα παιχνίδια με ελάχιστες πιθανότητες επιτυχίας,αλλά που προσφέρουν σημαντικά βραβεία(Λόττο,Τζόκερ, προπό και λοιπά παίγνια ),και αυτή είναι η βάση της επιτυχίας τους.Η πιθανότητα να κερδίσουμε ένα μεγάλο βραβείο είναι μικρή, όμως αν μας πέσει θα γίνουμε ξαφνικά πλούσιοι.

Οι "Στοχασμοί" του Πασκάλ στο σύνδεσμο:http://www.gutenberg.org/ebooks/18269

Το τρίγωνο
Σε μια πρόχειρη αναζήτησή στην google με λέξεις κλειδιά τρίγωνο Πασκάλ εμφανίζονται 16000 αποτελέσματα ,ενώ αν αλλάξουμε την λέξη στα αγγλικά το νούμερο απογειώνεται στα 897000 αποτελέσματά. Το τρίγωνο του Πασκάλ μαζί με τη ακολουθία fibbonacci και τους πρώτους αριθμούς ίσως να αποτελούν τα πλέον cult μαθηματικά αντικείμενα στο διαδίκτυο και όχι μόνο.

Το τρίγωνο του Πασκάλ τυπώθηκε πρώτη φορά το 1527 στο εσώφυλλο της αριθμητικής του Πέτρου Απιανού

Το τρίγωνο του Πασκάλ είναι μια εντυπωσιακή διάταξη αριθμών. Μια πυραμιδοειδής διάταξη που στην πρώτη γραμμή έχει το 1 και κάθε επομένη γραμμή δημιουργείται από τον εξής απλό κανόνα: στα άκρα έχει μονάδες και κάθε αριθμός στο εσωτερικό της γραμμής προκύπτει από το άθροισμα των ακριβώς δυο αποπάνω αριθμών.

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

Οι ιδιότητες του τριγώνου δεν έχουν τέλος:

Οι δυο πρώτες εσωτερικές διαγώνιοι είναι η ακολουθία των φυσικών αριθμών και η ακολουθία των τριγωνικών αριθμών.

Αν χρωματίσουμε ξεχωριστά τους άρτιους και τους περιττούς τότε προκύπτει ένα φράκταλ μοτίβο,το τρίγωνο του Sierpinski .

Το άθροισμα κάθε γραμμής διπλασιάζεται.

Σε κάθε γραμμή εμφανίζονται οι δυνάμεις του 11

όμως από την πέμπτη δύναμη και κάτω που κάθε όρος έχει δυο ψηφία, τα ψηφία προστίθενται ανά ζεύγη.

Αν προσθέτουμε διαγωνίως μπορούμε να βρούμε τους όρους της ακολουθίας Fibonacci.

Το τετράγωνο κάθε αριθμού της δεύτερης διαγωνίου ισούται με το άθροισμα δυο αριθμών ,ενός δεξιά του και ενός κάτω δεξιά.

Κορώνα -Γράμματα

Στο τρίγωνο εντοπίζουμε και όλα τα δυνατά αποτελέσματα διαδοχικών ρίψεων ενός κέρματος.

Για παράδειγμα αν ρίξουμε ένα κέρμα 3 φορές, μόνο με ένα τρόπο μπορεί να έρθουν τρεις κεφάλες (ΚΚΚ) αλλά υπάρχουν τρεις τρόποι να έρθουν δυο κεφαλές και μια γράμματα ( (ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ), επίσης υπάρχουν τρεις τρόποι να έρθουν μια κεφαλή και δυο γράμματα (ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ) και ένας τρόπος να έρθουν όλα γράμματα. (ΓΓΓ). Το μοτίβο είναι 1,3,3,1 που βρίσκεται στο τρίγωνο του Πασκάλ. Ειδικότερα:

Ρίψεις	Δυνατά αποτελέσματα (ομαδοποιημένα)	Τρίγωνο Πασκάλ
1	Κ Γ	1, 1
2	ΚΚ ΚΓ,ΓΚ ΓΓ	1, 2, 1
3	ΚΚΚ ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ ΓΓΓ	1, 3, 3, 1
4	ΚΚΚΚ ΚΚΚΓ, ΚΚΓΚ, ΚΓΚΚ, ΓΚΚΚ ΚΚΓΓ, ΚΓΚΓ, ΚΓΓΚ, ΓΚΚΓ,ΓΚΓΚ , ΓΓΚΚ ΚΓΓΓ, ΓΚΓΓ, ΓΓΚΓ, ΓΓΓΚ ΓΓΓΓ	1, 4, 6, 4, 1
	......

Διωνυμικούς συντελεστές και συνδυαστικη

οι αριθμοί που εμφανίζονται σε κάθε οριζόντια γραμμή του τριγώνου,είναι οι συντελεστές που εμφανίζονται στα αναπτύγματα των πολυωνύμων (α + β)^ο, (α + β)¹, (α + β)², (α + β)³, (α + β)⁴, …,αντίστοιχα:

(α + β)^ο =						1
(α + β)¹ =					1α	+	1β
(α + β)² =				1α²	+	2αβ	+	1β²
(α + β)³ =			1α³	+	3α²β	+	3αβ²	+	1β³
(α + β)⁴ =		1α⁴	+	4α³β	+	6α²β²	+	4αβ³	+	1β⁴
(α + β)⁵ =	1α⁵	+	5α⁴β	+	10α³β²	+	10α²β³	+	5αβ⁴	+	1β⁵

Το τρίγωνο του Πασκάλ μας επιτρέπει να γράφουμε τους συντελεστές του αναπτύγματος του (α + β)^ν δηλαδή τους διωνυμικούς συντελεστές,για οποιοδήποτε φυσικό ν.

Οι συντελεστές έχουν άμεση σχέση με προβλήματα Συνδυαστικής.Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι από 4 μαθητές θέλουμε να επιλέξουμε 2 που θα στείλουμε σε μια εργασία. Πόσες διαφορετικές δυάδες μπορούμε να σχηματίσουμε; Θα διαπιστώσουμε ότι το πλήθος τους είναι 6, που είναι ο συντελεστής του α²β⁴, η αλλιώς του α²β^{4
– 2}.Γενικά, αν θέλουμε να επιλέξουμε k στοιχεία από ένα σύνολο με ν στοιχεία το πλήθος των επιλογών είναι ο συντελεστής του α^νβ^{ν – κ}που στο τρίγωνο του Πασκάλ είναι ο αριθμός που βρίσκεται στην ν οριζόντια γραμμή και στην κ διαγώνια σειρά.

Ένα βίντεο που συνοψίζει τα παραπάνω