Μαθη...μαγικά : Γεωμετρικά σχήματα με "τσάκιση",ένα γιαπωνέζικο οικόσημο και μια ιστορία για την σημαια. (Τhe fold and cut problem)

Δευτέρα 3 Μαρτίου 2014

Γεωμετρικά σχήματα με "τσάκιση",ένα γιαπωνέζικο οικόσημο και μια ιστορία για την σημαια. (Τhe fold and cut problem)

"Τα μαθηματικά διαποτίζουν την κοινωνία μας .Οι περισσότεροι από μας δεν τα προσέχουμε, διότι κατά το πλείστον αυτά λειτουργούν πίσω από το προσκήνιο."
                                                                                                            Ian Stewart

Έστω ότι διαθέτουμε ένα ορθογώνιο φύλλο χαρτί και έχουμε την δυνατότητα να το διπλώσουμε όπως θέλουμε, κατόπιν να το "κόψουμε" μια φορά με ένα ψαλίδι.Πόσα και ποια είναι τα δυνατά γεωμετρικά σχήματα που προκύπτουν.Προσοχή,ένα και μοναδικό ευθύ κόψιμο.Εξηγούμαι.Αν για παράδειγμα έχουμε σχεδιάσει στο χαρτί ένα αστέρι με 5 κορυφές -δείτε στο παρακάτω σχήμα-κατόπιν πραγματοποιούμε μια συγκεκριμένη ακολουθία από διαδοχικά "διπλώματα" του χαρτιού και στην συνέχεια κάνουμε μια ευθεία τομή με ένα ψαλίδι.Το τελικό γεωμετρικό σχήμα που θα απομείνει ,είναι το αστέρι που σχεδιάσαμε.

Δείτε το και σε βίντεο:



Πόσο συχνά συμβαίνει αυτό;Για ποια γεωμετρικά σχήματα έχουμε την δυνατότητα να βρούμε την κατάλληλη ακολουθία "διπλωμάτων" στο χαρτί που να μας επιτρέπει με ένα και μοναδικό ευθύ κόψιμο με το ψαλίδι να τα αποκόψουμε. ( fold-and-cut-problem)

Η πρώτη ιστορική αναφορά στο παραπάνω πρόβλημα εντοπίζεται το 1721, σε ένα γιαπωνέζικο βιβλίο γρίφων με τίτλο Wakoku Chiyekurabe που εκδόθηκε από τον Kan Chu Sen. Το πρόβλημα που εθετε ο Kan Chu Sen αφορούσε ένα sangaibisi, κλασσικό γιαπωνέζικο οικόσημο, που αποτελείται από τρεις διπλωμένους ρόμβους.Δείτε τις παρακάτω σελίδες από το βιβλίο.



Μεταγενέστερη αναφορά του προβλήματος συναντούμε το 1783 στο περιοδικό Harper's New Magazine Monthly.Ο αρθρογράφος του εν λόγω άρθρου αναφέρει μια σχετική με το πρόβλημα ιστορία που εμπλέκει τον Τζορτζ Ουάσιγκτον τον πρόεδρο των Η.Π.Α.Είναι γνωστό ότι,κατά την Αμερικανική Επανάσταση ή Πόλεμο της Ανεξαρτησίας (1775-1783),οι 13 βρετανικές αποικίες του Νέου Κόσμου εξεγέρθηκαν εναντίον της Μεγάλης Βρετανίας διεκδικώντας την ανεξαρτησία τους.Η εξέγερση οδήγησε στη δημιουργία των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής (ΗΠΑ).
Όταν λοιπόν ο Ουάσιγκτον το 1777,με τους συμβούλους του αποφάσισε να σχεδιάσει την αμερικάνικη σημαία,η αρχική πρόταση που κατατέθηκε προέβλεπε στην σημαία να απεικονίζονται 13 αστέρια με 6 κορυφές,όμως, όταν κλήθηκε η Μπέτι Ρος που θα την έραβε, του πρότεινε αστέρια με 5 κορυφές με τον ισχυρισμό ότι ήταν πιο εύκολο να κοπούν, για να του αποδείξει τον ισχυρισμό της ,έκανε επίδειξη με ένα φύλλο χαρτιού και ένα ψαλίδι.Ο Αμερικανός πρόεδρος πείσθηκε και σήμερα η αμερικανική σημαία έχει αστέρια με 5 κορυφές.Γοητευτική ιστορία ακόμα και αν κινείται στα όρια του μύθου .

Η πρώτη αμερικανική σημαία με τα 13 αστέρια που συμβολίζουν τις 13 αποικίες.

Ακόμα και ο θρυλικός μάγος Χ.Χουντινι ,προτού γίνει δεξιοτέχνης των αποδράσεων είχε γράψει ένα βιβλίο με μαγικά τρικ με τίτλο Paper Magic.Στο βιβλίο αυτό o Χουντίνι κάνει αναφορά στο πρόβλημα (δείτε σελ 176 ),τα πνευματικά δικαιώματα του βιβλίου έχουν παρέλθει από πολλά χρόνια,οι λάτρεις των μαγικών τρικ μπορείτε να βρείτε διαμαντάκια.
Το βιβλίο είναι αναρτημένο στους παρακάτω συνδέσμους
-http://www.learnmagictricks.org/ebook/HoudiniPaper-LMT.pdf
-http://www.ibmring81.com/Books/Houdini_s_Paper_Magic.pdf

Ο Μ.Gardner ασχολήθηκε με αυτού του είδους τα προβλήματα και έθεσε το ερώτημα:

    " Ποια γεωμετρικά σχήματα είναι δυνατό να προκύψουν με την παραπάνω διαδικασία;"

Απάντησή στο ερώτημα του δόθηκε το 1997 ,από τους Martin Demaine, Eric Demaine και Anna Lubiw.Οι δυο πρώτοι είναι πατέρας και γιος ,καθηγητές της επιστήμης των υπολογιστών στο ΜΙΤ με σπουδαίο ερευνητικό έργο ενώ η Anna Lubiw είναι καθηγήτρια στον ίδιο τομέα στο πανεπιστήμιο του Waterloo στον Καναδά.
Κάθε πολυγωνικό σχήμα μπορεί να προκύψει με κατάλληλη ακολουθία "διπλωμάτων" και ένα ευθύ κόψιμο με το ψαλίδι.Στον ιστότοπο του Eric Demaine μπορείτε να δείτε δυο διαφορετικές αποδείξεις για τον παραπάνω ισχυρισμό.

Στο παρακάτω βίντεο, ο Eric Demaine επιδεικνύει βήμα-βήμα την παραπάνω διαδικασία για ένα κύκνο.