«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Τρίτη, 3 Νοεμβρίου 2015

Η σπείρα του Ούλαμ,ο μεγάλος δάσκαλος Βραχμασούπας και ο τύπος του Οιλερ ...

                                    Image:Ulamgrid.jpg
                                     

   "Τα μαθηματικά είναι σαν το νερό…Συντίθενται από δύσκολες και περίπλοκες θεωρίες, όμως η βασική τους λογική είναι απλή.Όπως το νερό ρέει από το ψηλότερο προς το χαμηλότερο και ακολουθεί την συντομότερη ρότα έτσι και οι αριθμοί ρέουν προς μια κατεύθυνση.Πρέπει να κρατήσεις τα μάτια σου πάνω τους και η πορεία τους,θα σου αποκαλυφθεί.Αυτό αρκεί.Δεν χρειάζεται να κανείς τίποτα άλλο.Συγκεντρώσου,κράτησε  τα μάτια σου ανοικτά,και οι αριθμοί θα αποκτήσουν καθαρότητα και θα αναδυθούν ευδιάκριτοι μπροστά σου.Σε ένα περίπλοκο κόσμο το μόνο πράγμα που με αντιμετωπίζει ευγενικά και με αβρότητα είναι τα μαθηματικά…"


                                                                                               Haruki Murakami 

   Όταν ρωτήθηκε ο μεγάλος Μπραχαμιώτης δάσκαλος Βραχμασούπας,ποιο είναι το ελιξήριο της αθανασίας.Αυτος συνοφρυωθηκε σταύρωσε τα χέρια και απάντησε: 
           "Μα φυσικά είναι η απόλυτη ανία;Η ώρα δεν..περνάει με τίποτα!" 
Το αστείο είναι παγωμένο,όμως στην ιστορία των μαθηματικών σε μια τέτοια στιγμή απόλυτης ανίας γεννήθηκε μια ιδέα.Η σπείρα του Ούλαμ.Μην ανησυχειτε,δεν άπτεται του ποινικού δικαίου,αφορά μόνο τα μαθηματικά.Ο Στανισλαβ Ούλαμ(1909-1984),ένας διακεκριμένος Πολωνός μαθηματικός κατά την διάρκεια ενός βαρετού συνεδρίου,το 1963,για να σκοτώσει την ώρα του,σε ένα φύλλο χαρτί σημείωνε κουκκίδες με το στυλό του. 
Τι ανακάλυψε;
  Αν πάρουμε ένα απλό φύλλο χαρτί.Τοποθετήσουμε τον αριθμό 1 σε ένα τετράγωνο στο μέσο του φύλλου. Αρχίζουμε  σε διαδοχικά τετράγωνα γύρω από το 1 να τοποθετούμε τους αριθμούς 2,3,4,5,6,7....σχηματίζοντας μια σπείρα.Στην συνέχεια κυκλώνουμε  τους πρώτους αριθμούς του φύλλου.Δείτε το σχήμα που προκύπτει.   
                                        i-0afef8236fdd3fea23fbcfb35f81eeb6-ulam.png                                               
Το παρακάτω βίντεο περιγράφει την διαδικασία βήμα-βήμα.

                   

Στο επόμενο σχήμα η σπείρα του Ούλαμ  με ένα πλέγμα τετραγώνων 200 επί 200.
                       
                        

  Δείτε την συμμετρία στο σχήμα,τα διαγώνια τμήματα συντίθενται από πρώτους και εμφανίζουν κανονικότητες.Για ποιο λόγο;Πολύ απλά δεν γνωρίζουμε,οι πρώτοι αριθμοί εκατοντάδες χρόνια τώρα αρνούνται αν αποκαλύψουν τα μυστικά τους.Δεν είναι απαραίτητο να αρχίσουμε από το μηδέν,οποιοσδήποτε αριθμός μας κάνει.Tο μοτίβο που θα εμφανιστεί θα είναι το ίδιο.Ο Ούλαμ εμπνεόμενος από την τυχαία αυτή ανακάλυψη του δημιούργησε και άλλου είδους τέτοιες σειρές με διαφορετική αφετηρία.
    Τοποθέτησε το 17 στο κέντρο, και ακολουθώντας το παραπάνω ελικοειδές πρότυπο  έγραψε όλους τους ακεραίους από το 17 μέχρι το 272.Πάλι,οι πρώτοι αριθμοί εμφανίζονται σε διαγωνίους.Μάλιστα,η κυρία διαγώνιος που συνδέει το κάτω αριστερό σημείο με το πάνω δεξιό περιείχε αποκλειστικά πρώτους αριθμούς:

                    227,173,127,89,59,37,23,17,19,29,47,73,107,149,199,257

(ένα στιγμιότυπο του σχήματος με κάποιους από τους αριθμούς με κόκκινη σήμανση  δείτε παρακάτω)


                          


   Τον 18ο αιώνα, ο Οιλερ  είχε παρουσιάσει ένα πολυωνυμικό τύπο  v2+v+17 o όποιος για διαδοχικές τιμές του ν από το 0 μέχρι το 15  παράγει πρώτους αριθμούς.Αυτοί οι δεκαέξι  πρώτοι ήταν στην πραγματικότητα αυτοί που εμφανίστηκαν στην παραπάνω σπείρα.

                                        ν=0       02+0+17=17

                                        ν=1       12+1+17=19

                                        ν=2       22+2+17=23

                                        ν=3       32+3+17=29

                                                          .

                                                          .

                                        ν=15      152+15+17=257
   Ο υπολογιστής Maniac 2,στο εργαστήριο του Λος Αλαμος,είχε αποθηκευμενους στην μνήμη του,τους πρώτους 90 εκατομμύρια πρώτους αριθμούς.Το εργαστήριο επίσης διέθετε μια από τις πρώτες συσκευές δημιουργίας γραφικών με υπολογιστή.Μιλάμε πάντα για το 1963.Ο Ουλαμ προγραμμάτισε τον υπολογιστή έτσι ώστε να δημιούργησε μια τετραγωνική σπείρα των πρώτων 10 εκατομμυρίων αριθμών.Υπήρξε ένας από τους διακαείς του πόθους,να αποκρυπτογραφήσει την συμπεριφορά των πρώτων αριθμών με τα τετραγωνικά σκαριφήματα του.Ο άλλος ήταν να βρει ένα περιττό τέλειο αριθμό.Δεν το κατάφερε ούτε αυτός ούτε κανένας άλλος μέχρι σήμερα!!   
   Στην μεγαλύτερη μαθηματική βάση δεδομένων Wolfram Mathworld αναφέρεται,ότι ο συγγραφέας επιστημονικής φαντασίας Άρθουρ Κλαρκ,το 1956,στο βιβλίο του "Η πόλη και τα άστρα"προφητικά έγραφε:
  «Ο Τζέσερακ έμεινε ακίνητος μέσα στην δίνη των αριθμών.Οι πρώτοι χίλιοι πρώτοι αριθμοί …Ο Τζέσερακ δεν ήταν μαθηματικός,αν και μερικές φορές του άρεσε να πιστεύει ότι ήταν.Το μόνο που μπορούσε να κάνει ήταν να ψάξει ανάμεσα στην άπειρη σειρά πρώτων αριθμών για ιδιαίτερες σχέσεις και κανόνες,που,πιο ταλαντούχοι από αυτόν άνδρες θα μετουσίωναν σε γενικούς νόμους.Θα μπορούσε να βρει πώς συμπεριφέρονται οι αριθμοί, αλλά δεν μπορούσε να εξηγήσει γιατί..Ήταν ευχαρίστησή του να χαράξει το δρόμο του μέσω  των αριθμών,και μερικές φορές ανακάλυψε  θαύματα  τα οποία  περισσότερο επιδέξιοι  εξερευνητές είχαν χάσει.Έκανε τον υπολογιστή του μήτρα που θα γεννούσε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς των ακέραιων και είδε την οθόνη να γεμίζει από τις περιδινήσεις των πρώτων.»

 
Συναφές βίντεο από το μαθηματικό διαδικτυακό κανάλι Numberphile

 
                   

Περαιτέρω πηγές
- http://ulamspiral.com/ - http://scienceblogs.com/goodmath/2010/06/22/the-surprises-never-eend-the-u/
 -http://www.math.uoc.gr/~ags/prime_formulas.pdf

Τον τελευταίο λόγο έχει ο κορυφαίος Θανάσης Βέγγος ως παπατρέχας:
 
                           

1 σχόλιο:

  1. Ο Ούλαμ ήταν οπαδός της ήσσονος προσπάθειας ,ο Λαμπέρτο Γκαρθία Δελ Σιδ σε εκείνο το ωραίο βιβλίο του με τίτλο το χαμόγελο του Πυθαγόρα γράφει χαρακτηριστικά:
    …μια μέρα που ο Τζιαν Κάρλο Ρότα πήγε να τον επισκεφτεί, τον βρήκε ξαπλωμένο στο καναπέ του σπιτιού του στη Σάντα Φε, με την εφημερίδα κάτω από το σώμα του. Για να μην κάνει τον κόπο να ανασηκωθεί και να πιάσει την εφημερίδα, έσκιζε μια- μια τις σελίδες, τις διάβαζε και τις πετούσε στο πάτωμα.
    Ο Ούλαμ χρησιμοποιούσε την οκνηρία του για φτάνει με την ελάχιστη δυνατή μαθηματική εξήγηση στο βάθος των ζητημάτων. Αφού, άφηνε την πέρλα σε όποιον τον άκουγε, πηδούσε σε άλλο ζήτημα, αφήνοντας την πιθανή ανάπτυξη της ιδέας ή της έμπνευσης σε κάποιον από του ακροατές του…
    Λέων Παπαδόπουλος

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...