«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Σάββατο, 12 Νοεμβρίου 2016

Η αριθμητική αγκύρωση στους υπολογισμούς,οι εξετάσεις μαθηματικών στο ACT και λοιπές λογικές πλάνες....


                           
Το φαινόμενο της αριθμητικής αγκύρωσης στην ελληνική  κωμωδία  "Άλλος για το εκατομμύριο" του 1964, με τον Γκιωνάκη και τον Κάππη.


    Καμιά φορά, με απόλυτα προβοκατόρικη διάθεση, δίνω στην τάξη άσκηση στον πίνακα-απλή εφαρμογή των τύπων- και τους λέω: Προσέξτε την δεν είναι τόσο απλή όσο φαίνεται. Φυσικά, οι περισσότεροι μαθητές θα κολλήσουν.Αρκεί μια παραπλανητική παραίνεση στην αρχή για να ανεβάσει κατακόρυφα τον δείκτη δυσκολίας.Το φαινόμενο έχει όνομα:Λανθασμένο σημείο εκκίνησης ή αγκύρωση και  συμβαίνει όχι μόνο σε αριθμητικούς αλλά και σε κάθε είδους υπολογισμούς.   
   Οι δημοσκόποι  το γνωρίζουν καλά.Όταν ζητάμε στους ανθρώπους να πραγματοποιήσουν μια αριθμητική αποτίμηση, για παράδειγμα τον αριθμό των κάτοικων μιας χώρας άπαξ και τους δώσουμε ένα αρχικό νούμερο,αυτό το νούμερο θα δημιουργήσει το φαινόμενο της αγκύρωσης, που έχει ως συνέπεια η αποτίμηση να μην υπερβεί ορισμένα όρια ,αυτά που  θα μπορούσαμε να ορίσουμε ως «ζώνη επίδρασης» του εν λόγω αριθμού.Σε εκείνο το ωραίο βιβλιαράκι το Χαμόγελο του Πυθαγόρα ο Λαμπέρτο Γκαρθία Δελ Σιδ αναφέρει περίπτωση έρευνας που ζητήθηκε από δυο διαφορετικές ομάδες  να εκτιμήσουν τον πληθυσμό της Τουρκίας.Στην πρώτη ομάδα δόθηκε ως αρχικός αριθμός τα 5 εκατομμύρια και τους ζητήθηκε να πουν εάν  ο πληθυσμός ήταν μεγαλύτερος ή μικρότερος και να τον εκτιμήσουν.Αυτή η ομάδα εκτίμησε  κατά μέσο όρο έναν πληθυσμό των 17 εκατομμυρίων κάτοικων.Στην δεύτερη δόθηκε ως αρχικός αριθμός τα 65 εκατομμύρια κάτοικοι  και ο μέσος όρος σε αυτή την ομάδα ήταν 35 εκατομμύρια.Η Τουρκία είναι περίπου 50 εκατομμύρια κάτοικους.
  Ένας ψυχολόγος, ο Ειμος Τβερσκυ (Tversky,Amosjudgment under uncertainty: Heuristics and Biases» ,Science,1974) έκανε το εξής πείραμα:εγκατέστησε ένα τροχό της τύχης  στο οποίο οι μετέχοντες  στο πείραμα πρέπει να περιστρέψουν.Έπειτα τους ρώτησε πόσα κράτη μέλη έχει ο ΟΗΕ.Τα άτομα για τα οποία ο τροχός της τύχης είχε σταματήσει σε ένα μεγάλο νούμερο απάντησαν ότι ο ΟΗΕ έχει μεγαλύτερο αριθμό μελών από τα άτομα που είδαν τον τροχό της τύχης να σταματάει σε ένα μικρότερο νούμερο.
  Οι ερευνητές Ρούσο και Σουμεικερ (Russo,J.E.Shoemaker,”Decision Traps”,1989) ρώτησαν φοιτητές ποιο έτος ο Αττίλας,ο Βασιλιάς των Ούννων υπέστη την συντριπτική ήττα του στην Ευρώπη,προηγουμένως είχαν ζητήσει από τους φοιτητές να γράψουν σε ένα χαρτί τα τρία τελευταία νούμερα του τηλεφωνικού τους αριθμού.Το αποτέλεσμα;Οι φοιτητές που  με τους μεγαλύτερους αριθμούς έδωσαν λιγότερο παλιές ημερομηνίες. Για την ιστορία η σωστή ημερομηνία ήταν το 451.  
   Η ανάρτηση για την πλάνη του σημείου εκκίνησης έχει ως αφορμή μια προσωπική εμπειρία.Φέτος έχω εμπλακεί στην προετοιμασία ενός μαθητή  για εξετάσεις ACT,εξετάσεις που γίνονται για την εισαγωγή σε πανεπιστήμια της Αμερικής.Η ύλη είναι ένα κομμάτι της άλγεβρας μέχρι Β λυκείου με ολίγη από κατεύθυνση Β, τα απολύτως στοιχειώδη. Έμοιαζε εύκολο.Κάθε χρόνο λαμβάνουν μέρος περίπου 2 εκατομμύρια μαθητές.Η αίσθηση μου στην αρχή ήταν ότι  ένας μαθητής που είχε τριβή με το ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα δεν θα δυσκολευόταν.Στην πορεία διαπίστωσα ότι δεν ήταν τόσο απλό όσο φαίνεται. Στην Αμερική κάθε πολιτεία έχει διαφορετικό αναλυτικό πρόγραμμα ,σε άλλες κάνουν στοιχειώδη, σε άλλες πιο προχωρημένα μαθηματικά.Συνεπώς έπρεπε αυτού του είδους τα τεστ να μην εμπλέκουν προχωρημένη ύλη και ταυτόχρονα να μην μπορούν να αριστεύσουν όλοι.Οπότε  τα διαμόρφωσαν ως εξής:Εξήντα ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής σε εξήντα λεπτά.Ένα μεγάλο μέρος των ερωτήσεων είναι προβλήματα,με διαβάθμιση,άλλα εύκολα,άλλα πιο έξυπνα,κάποια είχαν «πονηρή» παρουσίαση και οι πέντε επιλογές απάντησης είχαν  παραπλήσια νούμερα,κυρίως όμως νούμερα που προκύπτουν από λανθασμένη εκτίμηση του προβλήματος ή από ενδιάμεσους υπολογισμούς.Διάβαζα σε ένα από αυτά τα βοηθήματα για τέτοιου είδους εξετάσεις ότι η σειρά των πέντε απαντήσεων σε κάθε ερώτηση κάθε άλλο παρά τυχαία είναι.Παρατηρημένα,η πρώτη απάντηση δεν ήταν η σωστή σε μεγαλύτερο ποσοστό από το 20% όπως θα ήταν αναμενόμενο.Επίσης ενώ οι υποψήφιοι έχουν την δυνατότητα να φέρουν μαζί τους υπολογιστή τσέπης  σε ελάχιστες από τις ερωτήσεις απαιτείται πολύπλοκος αριθμητικός υπολογισμός.Ήδη έχουμε δυο παραπλανητικά σημεία εκκίνησης συν τον  χρόνο εξέτασης που δεν διαφέρει από χρόνο τηλεπαιχνιδιού αποτελούν στοιχεία που εξηγούν το μικρό ποσοστό των εξεταζόμενων που αριστεύει.   
 Βέβαια δεν ανακαλύπτουμε την Αμερική, κάθε διαγωνισμός επιλογής έχει τα παραπάνω στοιχεία στα θέματά που θέτει.Ακόμα και οι δικές μας πανελλήνιες έχουν παραπλήσια χαρακτηριστικά παρότι η έμφαση δίνεται σε περισσότερο "τεχνικά" θέματα.

 Είναι αυτό που έλεγε ο G.Cantor 
"Στα μαθηματικά είναι πολυτιμότερο να θέτουμε σωστά ερωτήματα από το να τα λύνουμε!"



Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...