«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Τρίτη, 27 Ιουνίου 2017

Μια εκδρομική στιχομυθία και τετράγωνα πρώτων




Προβληματάκι..

-«Πήγατε εκδρομή;»

-«Ναι,ήρθαν όλα τα παιδιά της Α και της Β λυκείου και οι περισσότεροι μαθητές της Γ λυκείου καθώς και οι 20 από τους 35  καθηγητές  του σχολείου!»

-«Δηλαδή,πόσοι εκδρομείς;»

-«Αρκετοί.Ο Παπαδόπουλος,ο αρχαιότερος μαθηματικός του σχολείου παρατήρησε ότι το  συνολικό πλήθος των εκδρομέων ήταν το τετράγωνο ενός πρώτου αριθμού ελαττωμένο κατά ένα.»

-«Πόσα πούλμαν χρησιμοποιήσατε;»

-«Αρκετά.Κάθε πούλμαν είχε χωρητικότητα 24 ατόμων και αυτό τηρήθηκε ευλαβικά.»

-«Υπήρξαν κενές θέσεις σε κάποιο πούλμαν;»

-«Αυτό μπορείς να το απαντήσεις και μόνος σου!»

Τι λέτε υπήρχαν κενές θέσεις;


Λύση  στα σχόλια
 

1 σχόλιο:

  1. Αν ν είναι το πλήθος των μαθητών τότε ν=p^2-1 , όπου p πρώτος αριθμός. Το ερώτημα είναι αν είναι πολλαπλάσιο του 24.
    Θα δείξουμε ότι πραγματικά ο ν είναι διαιρετός με το 24, αρκεί να δείξουμε ότι ο ν είναι πολλαπλάσιο και του 3 και του 8.
    ν=p^2-1=(p-1)(p+1)
    Οι αριθμοί p-1,p,p+1 είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Ανάμεσα σε τρεις διαδοχικούς φυσικούς υπάρχει πάντα κάποιο πολλαπλάσιο του 3.Ο p είναι πρώτος και διάφορος του 3 κάποιος από τους p-1 και p+1 είναι πολλαπλάσιο του 3.
    Τώρα θα δείξουμε ότι ο p^2-1 είναι πολλαπλάσιο του 8.
    O p είναι σίγουρα περιττός άρα p-1 και p+1 είναι άρτιοι και μάλιστα p-1>2 .
    Πραγματικά p-1,p+1 διαδοχικοί άρτιοι άρα (p-1)(p+1)=2κ *2(κ+1)= 4κ(κ+1)
    Με τους αριθμούς κ,(κ+1) διαδοχικούς φυσικούς άρα ο ένας είναι άρτιος συνεπώς 4κ(κ+1) πολλαπλάσιο του 8.
    (Σε όλα τα παραπάνω υποθέσαμε ότι p διάφορο του 2 και του 3)
    Άρα ο p^2-1 είναι πολλαπλάσιο του 24 όποτε δεν έχουμε κενές θέσεις.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...