Προβληματάκι..
-«Πήγατε εκδρομή;»
-«Ναι,ήρθαν όλα τα παιδιά της Α και της Β λυκείου και οι περισσότεροι
μαθητές της Γ λυκείου καθώς και οι 20 από τους 35 καθηγητές του σχολείου!»
-«Δηλαδή,πόσοι εκδρομείς;»
-«Αρκετοί.Ο Παπαδόπουλος,ο αρχαιότερος μαθηματικός του σχολείου
παρατήρησε ότι το συνολικό πλήθος των εκδρομέων ήταν το τετράγωνο ενός πρώτου αριθμού ελαττωμένο κατά ένα.»
-«Πόσα πούλμαν χρησιμοποιήσατε;»
-«Αρκετά.Κάθε πούλμαν είχε χωρητικότητα 24 ατόμων και αυτό τηρήθηκε ευλαβικά.»
-«Υπήρξαν κενές θέσεις
σε κάποιο πούλμαν;»
-«Αυτό μπορείς να το απαντήσεις και μόνος σου!»
Τι λέτε υπήρχαν κενές θέσεις;
Λύση στα σχόλια
Αν ν είναι το πλήθος των μαθητών τότε ν=p^2-1 , όπου p πρώτος αριθμός. Το ερώτημα είναι αν είναι πολλαπλάσιο του 24.
ΑπάντησηΔιαγραφήΘα δείξουμε ότι πραγματικά ο ν είναι διαιρετός με το 24, αρκεί να δείξουμε ότι ο ν είναι πολλαπλάσιο και του 3 και του 8.
ν=p^2-1=(p-1)(p+1)
Οι αριθμοί p-1,p,p+1 είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Ανάμεσα σε τρεις διαδοχικούς φυσικούς υπάρχει πάντα κάποιο πολλαπλάσιο του 3.Ο p είναι πρώτος και διάφορος του 3 κάποιος από τους p-1 και p+1 είναι πολλαπλάσιο του 3.
Τώρα θα δείξουμε ότι ο p^2-1 είναι πολλαπλάσιο του 8.
O p είναι σίγουρα περιττός άρα p-1 και p+1 είναι άρτιοι και μάλιστα p-1>2 .
Πραγματικά p-1,p+1 διαδοχικοί άρτιοι άρα (p-1)(p+1)=2κ *2(κ+1)= 4κ(κ+1)
Με τους αριθμούς κ,(κ+1) διαδοχικούς φυσικούς άρα ο ένας είναι άρτιος συνεπώς 4κ(κ+1) πολλαπλάσιο του 8.
(Σε όλα τα παραπάνω υποθέσαμε ότι p διάφορο του 2 και του 3)
Άρα ο p^2-1 είναι πολλαπλάσιο του 24 όποτε δεν έχουμε κενές θέσεις.