«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Σάββατο, 21 Οκτωβρίου 2017

YBC 7289 ,ο Ντεριντά και ολίγη απο αριθμητική ανάλυση....





Ειδήμων ουσ. Ο ειδικός που γνωρίζει  οτιδήποτε για κάτι και τίποτε απολύτως για οτιδήποτε άλλο.
                                                                    Αμβρόσιος Πηρς


  Τέλος Οκτώβρη και έχω ήδη εκνευρισθεί με το ξεψάχνισμα του σχολικού βιβλίου στα μαθηματικά της Γ λυκείου,τι θα πέσει,τι μπορεί να πέσει ή πως θα πέσει.Που βόσκει στο σχολικό βιβλίο το επόμενο δεύτερο θέμα των εξετάσεων;Αποδομούνται και αναλύονται οι ορισμοί στο σχολικό εγχειρίδιο κάνοντας περήφανο τον Ντεριντά και τους νεοέλληνες  μετέχοντες την μαθηματική παιδεία οπαδούς του.Αυτό είναι έτσι, ενώ θα έπρεπε να είναι έτσι, και πάει σκοινί-κορδόνι.Ταυτίστηκα με μια ανάρτηση στο ιστολόγιο του Θ.Κοπάδη.Τα παραπάνω συνιστούν επαρκή λόγο,ο καθιερωμένος οδηγός επανάληψης του ιστολογίου στα μαθηματικά για το 2018  να αναρτηθεί αργότερα φέτος.Οπότε,αλλάζω μοτίβο,μια άσκηση λοιπόν,από την Ανάπτυξη εφαρμογών για τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας από τα Βαβυλωνιακά μαθηματικά καθώς και  ολίγη από αριθμητική ανάλυση. Έδωσα την άσκηση στο μάθημα,σε 5 λεπτά είχαν φτιάξει το πρόγραμμα,και τους είπα ότι θα ανεβάσω το ιστορικό υπόβαθρο.


   Στην Βαβυλωνιακή συλλογή πήλινων πινακίδων του πανεπιστήμιου του Γιέιλ,υπάρχει η πινακίδα  YBC 7289 που χρονολογείται από την περίοδο της Αμοριτικής δυναστείας,περίπου 1800 με 1600 π.Χ.Τι το ιδιαίτερο έχει;


  Απεικονίζει ένα τετράγωνο υπό κλίση και τις διαγώνιες του,με σύμβολα εγχαραγμένα κατά μήκος της μιας πλευράς και κάτω από την οριζόντια διαγώνιο (σφηνοειδής γραφή).

 Πρόκειται για αριθμούς στο εξηνταδικό αριθμητικό σύστημα.Ο αριθμός που είναι γραμμένος κατά μήκος της πάνω αριστερής πλευράς έχει αναγνωριστεί ως  30 (σχήμα).Εκείνος κάτω ακριβώς από την οριζόντια διαγώνιο είναι ο 1;24,51,10(*).Ο εν λόγω αριθμός  στο δεκαδικό σύστημα,γίνεται:    
                                 1+24/60+51/60^2+10/60^3=1,414213

                           
 δηλαδή,η δεκαδική τιμή του √2 με ακρίβεια εκατοστού του χιλιοστού.Αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με 30,λαμβάνουμε 42,426389,ο οποίος είναι ο εξηνταδικός αριθμός 42;25,35 ο αριθμός που φαίνεται στην δεύτερη γραμμή  κάτω από την διαγώνιο.Δηλαδή,οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν ότι για να βρει κανείς την διαγώνιο τετραγώνου πλευράς α αρκεί να πολλαπλασιάσει το α με το √2.Άρα οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν δυο πράγματα, πρώτον το Πυθαγόρειο θεώρημα και δεύτερο να υπολογίζουν το √2  με ακρίβεια οκτώ ψηφίων.Πως το έκαναν;Πως  κατάφεραν οι Βαβυλώνιοι να υπολογίσουν με τέτοια  αξιοθαύμαστη ακρίβεια την √2; 

 
Otto Neugebauer (1899 –1990)

  Ο Αυστριακός ιστορικός των μαθηματικών-μαθηματικός Otto Neugebauer (1899 –1990) εικάζει ότι οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν τον παρακάτω επαναληπτικό τύπο:     

                                      x i+1=(1/2)(xi+2/xi), i=0,1,2,3,…   (τύπος Newton –Raphson)

Υποθέστε αρχικά μια τιμή  xo>0 και εισάγετε την στον τύπο έτσι θα πάρετε την τιμή

x1=(1/2)(xo+2/xo),εισάγετε ξανά την τιμή αυτή στον τύπο και θα πάρετε x2=(1/2)(x1+2/x1), κ.ο.κ. Οι τιμές του xi που παίρνουμε με αυτό τον τρόπο θα είναι  όλες μεγαλύτερες του √2.Όμως,καθώς το i αυξάνει,οι τιμές  συγκλίνουν  γρήγορα στο √2.
 Για παράδειγμα,επιλέγοντας xo=1,5 με τρία μόνο βήματα,υπολογίζουμε μια τιμή του √2 με ακρίβεια  επτά δεκαδικών ψηφίων.Δείτε ένα μίνι προγραμματάκι σε ΓΛΩΣΣΑ με τρεις μόνο επαναλήψεις και οθόνες.

   Η συγκεκριμένη τιμή είναι χαραγμένη με εξηνταδικά ψηφία με την μορφή 1;24,51,10 στην πινακίδα YBC 7289.Η ίδια διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιήθει για την εύρεση  της τετραγωνικής ρίζας οποιουδήποτε θετικού αριθμού α.
                                             x i+1=(1/2)(xi+α/xi), i=0,1,2,3,…

Γιατί,ο τύπος δουλεύει;Παρατηρούμε,ότι αν η αρχική τιμή xo ήταν  μεγαλύτερη από √α, τότε το α/χο θα είναι μικρότερο από √α και αντίστροφα.

Σε κάθε περίπτωση,η μέση τιμή  (1/2)(xo+2/xo),δίνει καλύτερη προσέγγιση της ζητούμενης τιμής.Είναι γνωστό ότι ο γεωμετρικός μέσος δυο θετικών  ακεραίων είναι μικρότερος ή ίσος από τον αριθμητικό μέσο τους.

                                                   (1/2)(α+β)>= √αβ,.

Με την ισότητα να ισχύει για α=β.

Εφαρμόζοντας αυτήν την ανισότητα στην παραπάνω σχέση ισχύει:

                                     (1/2)(xi+2/xi)>= √ xi (α/ xi)= √ α                                            
Η οποία δείχνει ότι από το χ1 και μετά όλες οι προσεγγίσεις είναι μεγαλύτερες από το √α (εκτός αν είμαστε αρκετά τυχεροί και ξεκινήσουμε με xο=√α  )


(*)Το βαβυλωνιακό αριθμητικό σύστημα έχει ως βάση τον αριθμό 60.Στο συγκεκριμένο σύστημα,οι αριθμοί ως το 59 γράφονταν στο σύστημα αρίθμησης όπως γράφονται με βάση το 10,χωρίς το 0.Ο συμβολισμός για την γραφή βαβυλωνιακών αριθμών έχει ως εξής:με το σύμβολο (,) χωρίζουμε τα εξηνταδικά ψηφία, και με το (;) χωρίζουμε το ακέραιο μέρος  από το κλασματικό μέρος του αριθμού.Άρα, 1;24,51,10 είναι 
1+24/60+51/60^2+10/60^3=1,414213

Πηγή:The Exact Sciences in Antiquity.Princeton: Princeton University Press,1952,Otto E.Neugebauer

                        

3 σχόλια:

  1. Κύριε Δρούγα καλημέρα σας.
    Μια διόρθωση.
    Αντί:
    Εκείνος κάτω ακριβώς από την οριζόντια διαγώνιο είναι ο 1;24,51,10(*)
    Να γραφεί:
    Εκείνος πάνω ακριβώς από την οριζόντια διαγώνιο είναι ο 1;24,51,10(*)
    Φιλικά,
    Carlo de Grandi

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ειναι κατω απο την οριζοντια διαγωνιο ο αριθμος στο αριστερο σχημα κ.carlo

      Διαγραφή
  2. Έχετε δίκιο. Εγώ είδα το δεξιό σχήμα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...