Η κορνίζα ΑΒΓΔ ενός πίνακα ζωγραφικής είναι ορθογωνίου σχήματος και συνίσταται από 8 ίσα τραπέζια
.Οι διαστάσεις ΑΒ και ΒΓ έχουν μήκη (σε cm) θετικούς ακεραίους. Το εμβαδό κάθε τραπεζίου είναι επίσης ακέραιος και μάλιστα πρώτος αριθμός.Το εμβαδό του πίνακα είναι λιγότερο από 2000 cm2.
Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδό που έχει ο πίνακας;
Αν δε βιάστηκε πολύ:
ΑπάντησηΔιαγραφήΔιαστάσεις κάθε τραπεζίου:
α=22, β=24, υ=1
Εμβ. τραπεζίου: (α+β)*1/2 = 23
Εμβ. κορνίζας: 8*23 = 184
Εσ. εμβ. πίνακα: α(2α+β) = 22*68 = 1496
Συνολ. εμβαδό: β(2β+α) = 24*70 = 1680
Το μέγιστο εμβαδόν που έχει ο πίνακας είναι 1496 cm^2
ΑπάντησηΔιαγραφήB = η μεγάλη βάση του τραπεζίου
β = η μικρή βάση του τραπεζίου
υ = το ύψος του τραπεζίου
Τ = το εμβαδόν του τραπεζίου
Ε = το εμβαδόν του πίνακα
(ΒΓ) = Β (ακέραιος)
(ΑΒ) = 2Β + β (ακέραιος), άρα β = (ΑΒ) – 2Β (ακέραιος)
Β – β = 2υ (ακέραιος), άρα Β = β + 2υ
Τ = (Β + β)*υ/2 = (2β + 2υ)*υ/2 = (β + υ)*υ
Επειδή Τ = πρώτος και 2υ = ακέραιος, θα πρέπει υ = 1, άρα
Τ = β + 1, Β = β + 2
Ε = β*(2β + Β) = β*(3β + 2) = 3β^2 + 2β < 2000, άρα β < 26
Είναι Τ < 27 και ο μεγαλύτερος πρώτος που δεν υπερβαίνει το 27 είναι ο 23
Επομένως Τ = 23, β = 22 και Ε = 3*22^2 + 2*22 = 1496 cm^2
Ναι πραγματικά είναι 1496 cm^2
ΑπάντησηΔιαγραφή