«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Σάββατο, 2 Ιουνίου 2018

Διαδοχικοί


5 σχόλια:

  1. Από το πρώτο πρόβλημα με τους θ, θ+1, θ+2, θ+4 σχηματίζω τους 2θ+1, 2θ+2, 2θ+3, 2θ+4, 2θ+5, 2θ+6.
    Για να σχηματίσω τον 2θ+7 πρέπει ο πέμπτος αριθμός να είναι το θ+7.
    Τότε όμως δεν σχηματίζεται το 2θ+10.
    Επομένως δεν είναι δυνατόν

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Έχεις δίκιο Μάνο, το δεύτερο πρόβλημα είναι αδύνατο.Μια παραλίγο προσέγγιση είναι το σύνολο των 5 αριθμών {0,1,2,4,7} –οι πρώτοι όροι της ακολουθίας Conway-Guy (https://oeis.org/A005318) που δίνει αθροίσματα ανά δυο {1,2,3,4,5,6,7,8,9,11}

      Διαγραφή
  2. Δεν καταλαβα το β ,μια αναλυτικη λυση;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Το (β) είναι αδύνατο.
    Έστω ότι υπάρχουν 5 θετικοί ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι ώστε τα αθροίσματα τους ανά δυο να αποτελούν διαδοχικούς ακεραίους.
    Αν προσθέσουμε ένα ακέραιο χ σε καθένα από τους αριθμούς είναι σαν να προσθέτουμε το 2χ σε καθένα από τα δέκα αθροίσματα συνεπώς η ζητούμενη ιδιότητα διατηρείται συνεπώς με κατάλληλο προσθετέο ο μικρότερος από τους πέντε αριθμούς θα είναι ο μηδέν.
    Έτσι θεωρούμε τους 5 αριθμούς:
    0<α<β<γ<δ (1)
    Τα δυο μικρότερα αθροίσματα είναι α,β είναι διαδοχικοί άρα διαφέρουν κατά 1 συνεπώς β=α+1
    Η (1) γίνεται:
    0<α<α+1<γ<δ (2)
    Τα δυο μεγαλύτερα αθροίσματα είναι
    γ+δ,δ+α+1 διαφέρουν κατά 1 άρα γ+δ=δ+α+2 η γ=α+2 άρα η (2) γίνεται :
    0<α<α+1<α+2<δ (2)
    Στα δέκα αθροίσματα καθένας από τους 5 αριθμούς εμφανίζεται 4 φορές άρα το συνολικό άθροισμα S των 10 αθροισμάτων είναι:
    S=4(0+α+α+1+α+2+δ)= 4(3α+3+δ) (3)
    Από την άλλη ,τα δέκα αθροίσματα είναι 10 διαδοχικοί ακέραιοι άρα το άθροισμα τους είναι περιττός δηλαδή S περιττός, άτοπο, αφού από την (3) δείξαμε ότι είναι πολλαπλάσιο του 4.
    Άρα είναι αδύνατο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...