Σαν σήμερα στο μαθηματικό σύμπαν. 3Ν+1, ένα σκληρό πρόβλημα και η δεσποτεία του ενός!

Εικασία Collatz όπως την "ζωγράφισε" ο μαθηματικός Alex Bellos

                                       
                                       "Η απόλυτη ισότητα οδηγεί στην δεσποτεία του ενός."
                                                                                                  
                                                                                                         Μοντεσκιέ

 Σαν σήμερα 6 Ιουλίου 1910,γεννήθηκε ο Γερμανός μαθηματικός Lothar Collatz.To 1937 διατύπωσε μια εικασία που παραμένει άλυτη.Το πρόβλημα των Συρακουσών.Ένα κατά βάση απλό στην διατύπωση ερώτημα που όμως αποδείχτηκε πολύ δύσκολο να απαντηθεί.   Ο καθένας μπορεί να το τσεκάρει χρησιμοποιώντας μολύβι και χαρτί ή ακόμα και ένα απλό υπολογιστή τσέπης. Είναι τόσο απλό στην διατύπωση εξαιρετικά δύσκολο όμως να αποδειχθεί.Το είδος του προβλήματος που νομίζουμε ότι γνωρίζουμε την απάντηση αλλά δεν μπορούμε να το αποδείξουμε.
  Σκεφτείτε έναν θετικό ακέραιο  αριθμό ,όποιον εσείς θέλετε. Ακολουθείστε τώρα την εξής διαδικασία.

-Αν ο αριθμός είναι άρτιος (ζυγός),διαιρέστε τον με το 2.

-Αν ο αριθμός  είναι περιττός (μονός), πολλαπλασιάστε τον με το 3 και προσθέστε το 1.

Επαναλάβετε την διαδικασία.Παρατηρείστε το αποτέλεσμα.

 Εγώ σκέφτηκα το 11.Είναι περιττός,άρα  πολλαπλασιάζω με 3 και προσθέτω 1,ο επόμενος αριθμός είναι 3x11+1=34,ο 34 τώρα είναι άρτιος άρα διαιρώ με το 2 και έχω αποτέλεσμα 17.Είναι περιττός και συνεχίζω τριπλασιάζοντας και προσθέτοντας την μονάδα,3x17+1=52. Συνεχίζω την ιδία διαδικασία και οι αριθμοί που προκύπτουν είναι 26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1. 
Από το σημείο αυτό και μετά έχουμε την επαναλαμβανόμενη ακολουθία  4,2,1,4,2,1,4,2,1…..

Όταν φτάσουμε στο 1 διαδικασία τερματίζεται. 
Δείτε την αλυσίδα των αριθμών:

         11 -->34-->17-->52-->26-->13-->40 -->20 -->10-->5-->16-->8-->4-->2-->1

Το πρόβλημα τέθηκε το 1937  από τον μαθηματικό Lothar Collatz, ο όποιος  αναρωτήθηκε:

          
           «Θα καταλήγουμε πάντα στο 1,από όποιον αριθμό και αν ξεκινήσουμε;».

 Ύστερα από 80 χρόνια ακόμα δεν γνωρίζουμε την απάντηση. 
 

L.Collatz (1910–1990)

Το πρόβλημα έχει πολλά ονόματα, εικασία 3n+1, εικασία Ούλαμ από τον Στάνιλσλαβ Ούλαμ (Stanislaw Ulam), πρόβλημα Κακουτάνι από τον Σιζούο Κακουτάνι (Shizuo Kakutani), εικασία Θουέιτς από τον Μπράιν Θουέιτς (Bryan Thwaites), αλγόριθμος του Χάσε από τον Χέλμουτ Χάσε (Helmut Hasse), ή πρόβλημα των Συρακουσών. Η ακολουθία των αριθμών που εμπλέκονται αναφέρεται ως ακολουθία χαλαζιού (επειδή οι τιμές συνήθως υπόκεινται σε πολλαπλές καταβάσεις και αναβάσεις σαν τους κόκκους του χαλαζιού σε ένα σύννεφο, είτε ως θαυμαστοί αριθμοί.

Οι μαθηματικοί ερευνητές εικάζουν ότι η απάντηση στο ερώτημα είναι καταφατική. Με την χρήση υπερ-υπολογιστών κατόρθωσαν να δείξουν ότι όλοι οι αριθμοί μέχρι τον 18*2^60 τελικά καταλήγουν στο 1.

Στον ηλεκτρονικό σύνδεσμο:

http://www.jasondavies.com/collatz-graph/

παριστάνονται γραφικά οι ακολουθίας βημάτων όλων των αριθμών σύμφωνα με την εικασία Collatz με πλήθος 18 βημάτων ή λιγότερο.  

Την δεκαετία του  60,ο μαθηματικός Σιζούο Κακκουτάνι, διέδωσε το πρόβλημα στο πανεπιστήμιο του Γειλ. Ε λοιπόν, για περισσότερο από έναν μήνα όλοι οι θεράποντες των μαθηματικών στο Γέιλ ,καθηγητές, προπτυχιακοί και μεταπτυχιακοί φοιτητές δούλευαν στο πρόβλημα, χωρίς ωστόσο να σημειώσουν κάποια πρόοδο. Παρόμοιο φαινόμενο σημειώθηκε και στο πανεπιστήμιο του Σικάγο. Αφού κυκλοφόρησε το ανέκδοτο ότι  όλη η ιστορία δεν ήταν παρά ένα μυστικό σχέδιο των Σοβιετικών για να καθυστερήσει η μαθηματική ερεύνα στις Η.Π.Α.

   Ο θρυλικός Ούγγρος μαθηματικός Πωλ Έρντος επικήρυξε το πρόβλημα για 500 δολάρια, χωρίς επίσης να σημειωθεί κάποιο αποτέλεσμα.  

Μια εφαρμογή που υπολογίζει και εμφανίζει τα βήματα για αριθμό της αρεσκείας σας
http://collatzproblem.klickagent.ch/#__1974

O Alex Bellos από το γνωστό μαθηματικό διαδικτυακό κανάλι Numberphile "ζωγραφίζει" την εικασία.

 

                                ΄΄΄


Περαιτέρω σύνδεσμοι:
1.https://www.youtube.com/watch?v=5mFpVDpKX70
2.https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%BA%CE%B1%CF%83%CE%AF%CE%B1_%CF%84%CE%BF%CF%85_%CE%9A%CF%8C%CE%BB%CE%B1%CF%84%CE%B6
3. https://www.newscientist.com/article/2139238-mathematics-has-a-bad-hair-day/
4.hhttps://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Arithmetic/Collatz.shtml
5.https://cults3d.com/en/3d-model/architecture/collatz-conjecture-towers

Bonus αγαπημένο τραγουδάκι από τον Louis  Armstrong, σαν σήμερα το 1971 απεβίωσε.