Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης

            
                Τι με νοιάζει να αυξηθεί η βενζίνη, εγώ 20 ευρώ έβαζα,20 ευρώ θα βάζω...

   
  
   Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης,ένα από τα πλέον διάσημα παράδοξα πιθανοτήτων,είχε προταθεί αρχικά από τον Nicolaus Bernoulli (1678-1719) σε μια επιστολή με ημερομηνία Σεπτέμβριος του 1713.Το αρχικό πρόβλημα τροποποιήθηκε από τον Daniel Bernoulli, ανιψιό του Nicolaus και αναλύθηκε λεπτομερώς από τον ίδιο στην Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης.

 Το πρόβλημα έχει ως εξής:

 Ένα νόμισμα ρίχνεται,μέχρι να φέρει το αποτέλεσμα κορώνα.Αν η κορώνα εμφανιστεί στην πρώτη ρίψη, η τράπεζα πληρώνει τον παίκτη 1 ευρώ.Αν η κορώνα εμφανιστεί για πρώτη φορά στη δεύτερη ρίψη, η τράπεζα πληρώνει 2 ευρώ.Αν η κορώνα εμφανιστεί για πρώτη φορά στην τρίτη ρίψη, η τράπεζα πληρώνει 4 ευρώ.Στην τέταρτη ρίψη, 8 ευρώ.Στην πέμπτη ρίψη, 16 ευρώ και ούτω καθεξής.Πόσα χρήματα  θα έπρεπε ο παίκτης να πληρώσει στην τράπεζα για να παίξει ένα παιχνίδι, ώστε το παιχνίδι να είναι δίκαιο; Δηλαδή, ούτε ο παίκτης,αλλά ούτε και η τράπεζα να έχουν ένα πλεονέκτημα ανεξάρτητα από το πόσο το παιχνίδι θα συνεχίζεται;

 

Nicolaus I Bernoulli(1687-1759)

 

Τι σημαίνει όμως ένα «δίκαιο παιχνίδι».Ας δούμε ένα παράδειγμα:

   Ένας παίκτης αναλαμβάνει να ρίξει ένα «άσσο» με μία ρίψη ενός ζαριού.Η τράπεζα συμφωνεί να τον πληρώσει 1 ευρώ, εάν πετύχει.Τι ποσό θα πρέπει να πληρώσει ο παίκτης, για να είναι το παιχνίδι δίκαιο;

Σε μία μόνο ρίψη η πιθανότητα ενός 1 είναι προφανώς 1/6. Δεν μπορούμε να συμπεράνουμε  όμως από αυτό ότι ο παίκτης θα ρίξει ακριβώς 1 άσσο σε 6 βολές.   Μπορούμε να συμπεράνουμε, ωστόσο, ότι σε ένα μεγάλο αριθμό ρίψεων, έστω 6000, ένας άσσος θα έρθει περίπου 1000 φορές και ότι καθώς αυξάνουμε τον αριθμό των ρί-

ψεων, η αναλογία του αριθμού των επιτυχιών με τον αριθμό των ρίψεων θα προσεγγίζει το 1/ 6. (ο πανταχού παρών νόμος των μεγάλων αριθμών)

 Η ”προσδοκία” του παίκτη, όπως ονομάζεται, είναι επομένως 1/6 του 1 ευρώ ανά παιχνίδι και το ποσό αυτό είναι που πρέπει να πληρώσει στην τράπεζα, αν κανένας από τους 2 δεν πρέπει να έχει το πλεονέκτημα.

  Γυρίζουμε πίσω στο στο αρχικό μας πρόβλημα. Εξετάζουμε την πρώτη ρίψη του νομίσματος. Η πιθανότητα να έρθει κορώνα είναι 1/2. Το ποσό που εμπλέκεται είναι 1 ευρώ. Ως εκ τούτου, η προσδοκία αυτής της ρίψης είναι 1/2 του ενός ευρώ δηλαδή 50 λεπτά. Ας εξετάσουμε τη δεύτερη ρίψη. Ο παίκτης θα εισπράξει σε αυτήν τη ρίψη μόνο αν έφερε γράμματα στην πρώτη ρίψη και κορώνα στην δεύτερη. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι (1/2)(1/2), δηλαδή 1/4. Το ποσό που εμπλέκεται είναι τώρα 2 ευρώ. Ως εκ τούτου, η προσδοκία αυτής της ρίψης είναι 1/4 των 2 ευρώ, δηλαδή 50 λεπτά. Εξετάζουμε την τρίτη ρίψη. Ο παίκτης θα πάρει το χρήμα  σε αυτήν τη ρίψη μόνο εάν αυτός έφερε γράμματα στις δύο πρώτες ρίψεις και κορώνα στην τρίτη. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι (1/2)(1/2)(1/2), ή 1/8. Το ποσό που εμπλέκεται είναι 4 ευρώ.

Επομένως, η προσδοκία σε αυτήν τη ρίψη είναι 1/8 των 4 ευρώ, δηλαδή 50 λεπτά.

Για να δείξουμε ότι η προσδοκία της κάθε ρίψης είναι 50 λεπτά, εξετάζουμε τη νιοστή ρίψη. Ο παίκτης θα εισπράξει σε αυτήν τη ρίψη μόνο αν έφερε γράμματα στις πρώτες n- 1 ρίψεις και κορώνα στη νιοστή. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι (1/2⁾ⁿ.

Τώρα, τα ευρώ που εμπλέκονται στην πρώτη ρίψη είναι 1, ή 2⁰, στη δεύτερη ρίψη

είναι 2, ή 2¹, στην τρίτη ρίψη είναι 4, ή 2², στην τέταρτη ρίψη 8, ή 2³ και ούτω καθεξής. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός των ευρώ είναι πάντα μια δύναμη του 2 και ότι η

δύναμη είναι πάντα ένα μικρότερη από τον αριθμό της ρίψης.Ως εκ τούτου, ο αριθμός

των ευρώ που εμπλέκονται στη νιοστή ρίψη είναι 2^n-1.Τέλος, η προσδοκία για νιοστή

ρίψη είναι (1/2)ⁿ(2^n-1), ή 2^n-1/2ⁿ, ή 50 λεπτά.

Δεδομένου ότι η συνολική προσδοκία είναι πάντα το άθροισμα των προσδοκιών

στο κάθε στάδιο του παιχνιδιού, η συνολική προσδοκία εδώ είναι:

                         1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ….. ευρώ.

 Υπενθυμίζουμε ότι το παιχνίδι συνεχίζεται μέχρι να έρθει το αποτέλεσμα κορώνα.

Θεωρητικά δεν υπάρχει όριο στον αριθμό των γραμμάτων που μπορούν να εμφανιστούν πριν εμφανιστεί η πρώτη κορώνα και αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω σειρά αθροίζεται επ’ άπειρον. Αλλά το άθροισμα των άπειρων όρων της σειράς αυτής είναι προφανώς άπειρο. Επομένως, ο παίκτης πρέπει να πληρώσει την τράπεζα ένα άπειρο ποσό χρημάτων, ώστε να μπορέσει να παίξει το παιχνίδι!

   Το αποτέλεσμα είναι παράλογο. Ωστόσο, μαθηματικά είναι σωστό. Τι είναι λάθος,τότε; Αυτή η ερώτηση έχει κεντρίσει το ενδιαφέρον πολλών μαθηματικών τους τελευταίους δυο αιώνες και ακόμη κανείς δεν έχει βρει μια απάντηση κοινώς αποδεκτή.Έχουνε προταθεί αρκετές λύσεις. Από αυτές, προτιμώ την παρακάτω:

   Δεν υπάρχει κανένα λάθος με το αποτέλεσμα , υποθέτοντας ότι υπάρχει μια τράπεζα που έχει άπειρο πλούτο και συνεπώς, είναι σε θέση να πληρώνει τον παίκτη όσο και αν εξελιχθεί το παιχνίδι μέχρι να έρθει η πρώτη κορώνα. Αλλά τέτοια τράπεζα δεν υπάρχει. Ας υποθέσουμε, λοιπόν, ότι θα εξετάσουμε την προσδοκία, στην περίπτωση μιας τράπεζας της οποίας ο πλούτος περιορίζεται στο 1000000 ευρώ. Όπως και πριν,η πιθανότητα να εμφανιστεί για πρώτη φορά μία κορώνα στη νιοστή ρίψη είναι 1/2ⁿ.    Εάν η κορώνα εμφανιστεί σε αυτή ρίψη, η τράπεζα πληρώνει 2^n-1 ευρώ, με την προϋπόθεση ότι αυτό το ποσό είναι λιγότερο από 1000000 ευρώ. Αλλιώς, θα πληρώσει 1000000 ευρώ.Δηλαδή, αν το Pn συμβολίζει την πιθανότητα να εμφανιστεί για πρώτη φορά κορώνα στη νιοστή ρίψη και αν το αn είναι το ποσό σε ευρώ που καταβάλλεται από την τράπεζα για τη νίκη σε αυτη τη ρίψη,τότε η προσδοκία στη νιοστή ρίψη είναι (Pn)(an), όπου:

                         Pn = 1/2ⁿ και an = 2^n-1 με          2^n-1 < 1000000

                         Pn = 1/2ⁿ και an =1000000 με   2^n-1 > 1000000

Το 2¹⁹ είναι μικρότερο από 1000000, ενώ το 2²⁰ είναι μεγαλύτερο από 1000000.

Επομένως, το πρώτο σύνολο συνθηκών ισχύει όταν το n είναι μικρότερο ή ίσο του 20,και το δεύτερο σύνολο όταν το n είναι μεγαλύτερο από 20.

Συνεπώς, η συνολική προσδοκία σε ευρώ δίνεται από την έκφραση:

    (1/2)(1)+(1/2)²(2)+(1/2)³(2)²+ …μέχρι τον εικοστό όρο +(1/2)²¹(1000000)+

(1/2)²²(1000000)+ …μέχρι το άπειρο

   Δεδομένου ότι κάθε ένας από τους πρώτους είκοσι όρους αυτής της σειράς έχει την τιμή 1/2, το άθροισμα του πρώτου μέρους της σειράς είναι 10. Το δεύτερο μέρος, είναι μια γεωμετρική σειρά, το άθροισμα της οποίας μπορεί να βρεθεί με έναν στοιχειώδη αλγεβρικό τύπο.(άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου)
 Η αξία αυτού του ποσού με τρια δεκαδικά ψηφία είναι 0,953 (https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2F2)%5E21*(1000000)%2B++(1%2F2)%5E22*(1000000)%2B+%E2%80%A6)

Έτσι, η συνολική προσδοκία στην περίπτωση μιας τράπεζας με 1000000 ευρώ είναι 10,95 ευρώ, ένα λογικό ποσό για να πληρώσει κάποιος, ώστε να παίξει το παιχνίδι.

Daniel Bernoulli (1700-1782)

 Ο Daniel Bernoulli (της γνωστής οικογενείας) εύστοχα παρατηρούσε:

«Ο προσδιορισμός της αξίας ενός στοιχείου δεν πρέπει να βασίζεται στην τιμή, αλλά μάλλον στην χρησιμότητα που του αποδίδεται… Δεν υπάρχει καμία αμφιβολία ότι η αύξηση των χιλίων δουκάτων είναι πιο σημαντική για κάποιον άπορο από ότι σε έναν πλούσιο άνδρα, αν και οι δύο κερδίσουν το ίδιο ποσό.»

https://www.wsj.com/video/facebook-and-the-st-petersburg-paradox/BBCB6430-41F7-4EF4-9AA6-8B1C68E65B39.html

Περαιτέρω πληροφορίες

https://mpra.ub.uni-muenchen.de/50515/1/MPRA_paper_50515.pdf

http://www.math.tamu.edu/~larson/garcia13.pdf

https://www.thoughtco.com/what-is-the-st-petersburg-paradox-3126175

https://medium.com/@thomasafine/the-saint-petersburg-paradox-is-a-lie-62ed49aeca0b

https://www.hetwebsite.net/het/essays/uncert/bernoulhyp.htm