«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Παρασκευή, 26 Οκτωβρίου 2018

Προβλήματα με πιθανότητες,κουτσαβάκηδες και παίγνια


Δυο προβλήματα από  τα απομνημονεύματα του αρχικουτσαβάκη Σταύρακα (PhD in Statistics)


Δυο κουτσαβάκηδες (*) συναντιούνται και ο καθένας εγκωμιάζει το κομπολόι του άλλου.«Τι μόρτικο κομπολόι » λέει ο ένας, «σίγουρα είναι πολύ ακριβό» Και ο άλλος απαντάει «Μου φαίνεται,οτι το δικό σου είναι πιο ακριβό».Μετά από μια σύντομη διαφωνία με αμολημένα τα ζωνάρια,λίγο πριν βγουν τα μαχαίρια,αποφασίζουν να αποκαλύψουν τις αντίστοιχες τιμές των κομπολογιών τους, και ο κάτοχος της πιο ακριβού να το χαρίσει στον άλλο.Και ο καθένας από τους δυο σκέπτεται: «Είναι θέμα τζόγου.Πρόκειται για ένα συμφέρον  στοίχημα,αφού έχω τόσες πιθανότητες να κερδίσω όσες και να χάσω,και στην περίπτωση που  κερδίσω θα πάρω ένα μπάνικο και πιο ακριβό κομπολόι που θα αξίζει περισσότερο από αυτό που  μπορώ να χάσω.»

Πως είναι δυνατόν το στοίχημα να είναι συμφέρον και για τους δυο;
Σκεφτείτε το, αλλιώς διαβάστε μέχρι το τέλος.    



Ο Σταύρακας θυμάται, σε μια μπαρμπουτιέρα στον Πειραιά τρεις κουτσαβάκηδες να παίζουν το γνωστό παιχνίδι πέτρα –ψαλίδι – χαρτί. Σε κάθε  γύρο ο καθένας τους δείχνει ένα από τα τρία σχήματα .Η πέτρα κερδίζει το ψαλίδι,το ψαλίδι κερδίζει το χαρτί και το χαρτί κερδίζει την πέτρα. Αν σε ένα γύρο εμφανίζονται ακριβώς δυο διαφορετικά σχήματα (αυτό σημαίνει ότι δυο παίκτες έπαιξαν το ίδιο σχήμα) τότε ένας βαθμός προστίθεται στο σκορ  του παίκτη (ή παικτών) που έδειξε το νικηφόρο σχήμα, σε άλλη περίπτωση δεν προστίθεται βαθμός σε κανένα παίκτη. Ύστερα από ένα αριθμό γύρων παρατηρήθηκε ότι κάθε σχήμα (πέτρα, ψαλίδι, χαρτί) επιλέχτηκε συνολικά τον ίδιο αριθμό από  φορές.Σε εκείνο το σημείο ο Σταύρακας ισχυρίζεται το συνολικό πλήθος βαθμών των τριών παικτών είναι πολλαπλάσιο του 3.Έχει δίκιο; 
(Μετά το τέλος των γύρων έχουν εμφανιστεί  ν "ψαλίδια",ν "χαρτιά",ν "Πέτρες".)




Λύση από βδομάδα
  
 
(*) Με τη χαρακτηριστική προσωνυμία κουτσαβάκης, ή και κουτσαβάκι (το), (πληθυντικός: κουτσαβάκηδες ή κουτσαβάκια) φέρονταν στη Παλιά Αθήνα, περί το τέλος της Βασιλείας του Όθωνα και αρχές της Βασιλείας του Γεωργίου του Α΄ διάφοροι επιδεικνυόμενοι ως δήθεν παλληκαράδες κοινώς "ψευτόμαγκες".Η προσωνυμία αυτή κατά την επικρατέστερη άποψη προέρχεται εκ του "κουτσά" + "βαίνω",δηλαδή περπατώ σαν κουτσός χωλός, και αυτό επειδή οι κουτσαβάκηδες χάριν επίδειξης βάδιζαν αργά χαμηλώνοντας εναλλάξ τους ώμους τους κατ΄ αντίστοιχο πόδι, γυρνώντας ομοίως ελαφρά κατά πλευρά, το κεφάλι.

 Ανεπανάληπτος τηλεοπτικός Κουτσαβάκης ο Σ.Μουστάκας.

                       



  Στην πραγματικότητα οι πιθανότητες δεν είναι ισοδύναμες. Αν πάρουμε οριακές περιπτώσεις θα το διαπιστώσουμε. Ας υποθέσουμε ότι  είχες αγοράσει το κομπολόι σου σε προσφορά  και σου είχε κοστίσει μόνο ένα ευρώ ,σε εκείνη την περίπτωση  θα δεχόσουν να στοιχηματίσεις δίχως δεύτερη σκέψη,αφού η πιθανότητα να είχε στοιχίσει το άλλο κομπολόι λιγότερο θα ήταν ελάχιστη. Αντίθετα, αν είχες ένα κομπολόι  σκαλισμένο στο χέρι από ένα διάσημο καλλιτέχνη θα σου είχε στοιχίσει1000 ευρώ και τότε δεν θα στοιχημάτιζες.
 


19 σχόλια:

  1. Αν τα καταλαβαίνω σωστά, αρκεί να περιοριστούμε στις εμφανίσεις των σχημάτων ανά δύο, δεδομένου ότι είναι οι μόνες που προσθέτουν βαθμό σε έναν ή δύο παίκτες. Έτσι, αν υποθέσουμε ότι οι εμφανίσεις σχημάτων ανά δύο είναι τρείς, οι ΠΨ, ΨΧ, ΧΠ και οι βαθμοί που μοιράζονται στους αντίστοιχους γύρους σε έναν ή δύο παίκτες κάθε φορά είναι 1,2,1, τότε θα έχουμε δύο εμφανίσεις κάθε σχήματος, αλλά οι συνολικοί βαθμοί θα είναι 4 που δεν είναι πολλαπλάσιο του 3. Επομένως, αν τα καταλαβαίνει σωστά ο Θανάσης, μάλλον δε μας τα λέει σωστά ο Σταύρακας 😊.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Θανάση έχεις δίκιο ότι σε κάθε γύρο προστίθενται είτε 1 είτε 2 βαθμοί ,όμως δεν έχεις λάβει υπόψη ότι όταν σταμάτησε το παιχνίδι, είχαμε ένα πλήθος γύρων τριών αποτελεσμάτων με τον ίδιο συνολικό αριθμό από «πέτρες» ,«ψαλίδια», «χαρτιά». Αποδεικνύεται (το λέει και ο Σταύρακας και θα το γράψω εγώ :) όταν γυρίσω από το μάθημα) ότι σε κάθε περίπτωση το συνολικό πλήθος βαθμών είναι πολλαπλάσιο του 3.

      Διαγραφή
    2. Οκ ΘΑΝΑΣΗ, σε αυτή την περίπτωση η εκφώνηση προφανώς λέει κάτι διαφορετικό από αυτό που υπέθεσα, οπότε θα περιμένω να το δω..

      Διαγραφή
  2. Αν "κάθε σχήμα (πέτρα, ψαλίδι, χαρτί) εμφανίστηκε τον ίδιο αριθμό από φορές" σημαίνει "τον ίδιο αριθμό από γύρους" τότε ο Σταύρακας δεν έχει δίκιο.
    Αν "κάθε σχήμα (πέτρα, ψαλίδι, χαρτί) εμφανίστηκε τον ίδιο αριθμό από φορές" σημαίνει "τον ίδιο αριθμό από όλες τις επιλογές όλων των παικτών" τότε ο Σταύρακας έχει δίκιο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Όπως είναι ΘΑΝΑΣΗ νομίζω πως εξακολουθεί να είναι ασαφές, γιατί η προσθήκη που έκανες ήταν ήδη αντιληπτή από πριν. Αλλά αυτό που φαντάζομαι ότι συμβαίνει είναι πως όταν λες ότι εμφανίζονται δύο σχήματα εννοείς ότι το ένα σχήμα εμφανίζεται δύο φορές και το άλλο μία. Αν όντως συμβαίνει αυτό, νομίζω ότι θα ήταν καλύτερα αντί να λέμε εμφάνιση να λέγαμε επιλογή σχήματος.

    Για όλες τις φορές που οι επιλογές σχημάτων είναι τύπου ΠΠΨ, ΨΨΧ, ΧΧΠ χρειάζεται να υπάρχουν αντιστοίχως ισάριθμες επιλογές σχημάτων τύπου ΠΨΨ, ΨΧΧ, ΧΠΠ, αλλιώς δε θα ήταν δυνατό να έχουμε ισότητα επιλογών Π, Ψ, Χ. Επομένως για κάθε φορά που δίνονται 2 βαθμοί, υπάρχει φορά που δίνεται 1 βαθμός και έτσι το σύνολο βαθμών είναι πολλαπλάσιο του 2+1=3, ό.έ.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Θα προσθέσω και την περίπτωση που οι επιλογές τύπου ΑΑΒ αντισταθμίζονται αριθμητικά από επιλογές τύπου ΒΒΒ. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρειάζεται 3 φορές να έχουμε το ΑΑΒ για κάθε 1 φορά που έχουμε το ΒΒΒ. Σε τέτοιες περιπτώσεις σε κάθε ΑΑΒ αντιστοιχούν από 2 ή 1 βαθμοί, ενώ σε κάθε ΒΒΒ 0 βαθμοί και οι συνολικοί βαθμοί είναι πολλαπλάσιοι του 3*2=6 ή του 3*1=3, συνεπώς σε κάθε περίπτωση πολλαπλάσιοι του 3.
    Τέλος, οι περιπτώσεις τύπου ΑΒΓ δεν χρειάζονται αριθμητική αντιστάθμιση και μοιράζουν 0 βαθμούς, δηλαδή είναι ουδέτερες.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ούτε η πρώτη ούτε η τελευταία φορά που αυτό που εννοώ αυτό που λέω και αυτό που καταλαβαίνουν οι άλλοι δεν είναι το ίδιο :)

      Διαγραφή
    2. Αναρωτιέμαι αν τέτοια τριπλή ανισότητα μπορούμε να την καταφέρουμε ποτέ παίζοντας πέτρα - ψαλίδι - χαρτί😊.

      Διαγραφή
  5. Συνοψίζοντας:
    Για να έχουμε ίσα πλήθη επιλογών των τριών σχημάτων πρέπει ή κάθε επιλογή τύπου ΑΑΒ να αντιστοιχίζεται με μία επιλογή τύπου ΑΒΒ ή κάθε τρεις επιλογές τύπου ΑΑΒ να αντιστοιχίζονται με μία επιλογή ΒΒΒ. Στην πρώτη περίπτωση οι βαθμοί που δίνονται για κάθε ζευγάρι τύπου ΑΑΒ+ΑΒΒ είναι 2+1=3 και στη δεύτερη περίπτωση οι βαθμοί που δίνονται για κάθε τετράδα 3*ΑΑΒ+ΒΒΒ είναι 3*1+0=3 ή 3*2+0=6. Έτσι, οι συνολικοί βαθμοί είναι υποχρεωτικά πολλαπλάσιοι του 3.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Δε με συμπληρώνεις ΘΑΝΑΣΗ και αυτό δε με βοηθάει να βελτιώνονται😊. Υπάρχει και η περίπτωση που η τριπλή ισότητα επιτυγχάνεται με τριάδες ΑΑΒ-ΒΒΓ-ΓΓΑ που δίνουν 2+2+2=6 βαθμούς ή 1+1+1=3 βαθμούς καθεμιά.

      Διαγραφή
  6. Για την ιστορία,να δώσω και την πηγή: Διαγωνισμός πόλεων Seniors

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Μια αλγεβρικό απόδειξη που καλύπτει όλες τις περιπτώσεις:

    Έστω ότι είχαμε φορές επιλογής τριάδων ως εξής (τα μικρά γράμματα οι φορές και τα μεγάλα ο τύπος της τριάδας): α ΠΠΨ, β ΠΨΨ, γ ΨΨΧ, δ ΨΧΧ, ε ΧΧΠ, ζ ΧΠΠ, η ΠΠΠ, θ ΨΨΨ, ι ΧΧΧ (οι φορές επιλογής της ΠΨΧ είναι ουδέτερες, αφού κάθε ΠΨΧ περιέχει όλα τα είδη από μία φορά και προσθέτει 0 βαθμούς στο συνολικό λογαριασμό). Έτσι οι συνολικοί βαθμοί είναι Β = 2α+β+2γ+δ+2ε+ζ, ενώ οι φορές που επιλέχθηκε κάθε είδος είναι:
    Π: 2α+β+ε+2ζ+3η = ν,
    Ψ: α+2β+2γ+δ+3θ = ν,
    Χ: γ+2δ+2ε+ζ+3ι = ν .
    Επομένως ισχύει:
    2*(φορές επιλογής Π)+(φορές επιλογής Ψ) = ν+2ν = 3ν =>
    5α+4β+2γ+δ+2ε+4ζ+6η+3θ = 3ν => (2α+β+2γ+δ+2ε+ζ)+(3α+3β+3ζ+6η+3θ) = 3ν =>
    Β = 3[ν-(α+β+ζ+2η+θ)], πολλαπλάσιο του 3, ό.έ.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. ΘΑΝΑΣΗ, στα !!!! σου προσθέτω άλλα τόσα (πίσω από ένα ευχαριστώ), αλλά επίτρεψέ μου να προσθέσω και ένα ? (διερώτησης):
    Ενώ για την απόδειξη του ζητούμενου αρκεί η χρήση απλής ισότητας των φορών επιλογής δύο μόνο ειδών (Π με Ψ στη πιο πάνω προσέγγιση), γιατί το πρόβλημα δίνει τριπλή ισότητα των τριών ειδών; Σπατάλη δεδομένων, ή χουβαρδαλίκια του Σταύρακα; 😉

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. Μπορεί ο θέματοδότης στον συγκεκριμένο διαγωνισμο να μην έβρισκε την διατύπωση κατάλληλη με ισότητα δύο μόνο σχημάτων, πως θα το έγραφε δηλ να το καταλάβουν Η αρχική διατύπωση του προβλήματος που θεωρήσες ότι ήταν ασαφής ήταν κατά γράμμα περασμένη από τα ελληνικα στα αγγλικα, φαντάσου λοιπόν να έπρεπε να περιορίσει τα δεδομένα, από την άλλη παιδιά είναι...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Σόρι ΘΑΝΑΣΗ, δεν είχα πρόθεση να σε θυμώσω, αλλά μάλλον δεν μπόρεσα να το αποφύγω😊. Blame it on me αν αδίκησα τη μετάφραση του προβλήματος, απλά την άποψή μου προσπάθησα να διατυπώσω, σωστή ή εσφαλμένη. Έχεις ίσως δίκιο για τα παιδιά, είχα παρανοήσει τη λέξη seniors.

      Διαγραφή
    2. Δεν θυμώνω με τέτοια πράγματα ούτε η πρώτη ούτε η τελευταία φορά είναι που χανόμαστε στην μεταφραση

      Διαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...