«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Τετάρτη, 19 Δεκεμβρίου 2018

Ο μικρός πρίγκιπας και το π



  Sculpture dedicated to the hero of the works of the writer 
Antoine de Saint-Exupery ‘The Little Prince’.
Abakan, Republic of Khakassia


 «Για τους ταξιδιώτες τα αστέρια είναι οδηγοί.Για οποιονδήποτε άλλο δεν είναι τίποτα, παρά μικροσκοπικά φώτα.»


                                                      Antoine de Saint Exupery, Μικρός πρίγκιπας 




  Στο βιβλίο Ο μικρός πρίγκιπας  του Γάλλου συγγραφέα και αεροπόρου Antoine de Saint Exupery (1900-1944),ο ήρωας κάνει τον γύρο του μικρού του πλανήτη και καθαρίζει τα ηφαίστεια του.Ας υποθέσουμε,για τις ανάγκες της ιστορίας,ότι διανύει ένα μεσημβρινό του πλανήτη.Το ύψος του μικρού πρίγκιπα είναι ακριβώς ένα μέτρο.Εάν είχε διανύσει 1000 μέτρα περπατώντας στο έδαφος,τι απόσταση θα διανύσει το κεφάλι του στον αέρα;(σε σχέση με τα πόδια) Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας ότι μονάδα μέτρησης είναι το μέτρο. Εφόσον ο μικρός πρίγκιπας διανύει 1000 μέτρα

                                      το μήκος της περιφέρειας =2πr

Είναι προφανές ότι:

                           Η απόσταση που διανύθηκε με τα πόδια είναι 1000=2πr

Το ύψος του είναι ένα μέτρο και, εάν ονομάζουμε S την απόσταση που διένυσε το κεφάλι  του ,τότε

                                                    S=2π(r+1)

Αφαιρώντας την πρώτη παράσταση από την δεύτερη,έχουμε:

Απόσταση διανυθείσα με το κεφάλι σε μέτρα–απόσταση διανυθείσα με τα πόδια=

                                S-1000=2π(r+1)-2πρ=2π περίπου 6,28 m

   Η διαφορά είναι  6,28 μέτρα, το περίεργο  όμως, είναι ότι η ακτίνα του πλανήτη  δεν επηρεάζει καθόλου τον υπολογισμό. Μάλιστα,όποιο και αν είναι  το μήκος της, το να προσθέσουμε ένα μέτρο θα έχει απλώς σαν αποτέλεσμα να αυξηθεί κατά 6,28  το μήκος της περιφέρειας.Εάν η ακτίνα του πλανήτη του μικρού πρίγκιπα είχε μήκος 10000 χλμ ο μικρός πρίγκιπας θα είχε καθαρίσει τα ηφαίστεια του κατά μήκος 10000 χλμ και η επιπλέον απόσταση που θα διένυε το κεφάλι του σε σχέση με την απόσταση που θα διένυε με τα πόδια θα ήταν παλι…6,28 μέτρα.
Το πρόβλημα είναι πολύ παλιό και εμφανίζεται στο βιβλίο του William Whiston(1667-1752) "Τα βιβλία του Ευκλείδη" που γράφτηκε το 1702 για σπουδαστές.Ο Whiston ήταν ένας Άγγλος θεολόγος,ιστορικός,μαθηματικός.

William Whiston (1667 – 1752)

Η αρχική διατύπωση ήταν:
  Ένα σκοινί περιβάλλει σφιχτά τον ισημερινό του πλανήτη μας,θεωρώντας ότι δεν έχει  ανάγλυφο αλλά ότι είναι μια σφαίρα με λεία επιφάνεια.Πόσο μακρύτερο έπρεπέ να κάνουμε το σκοινί ώστε να απέχει ένα πόδι από την επιφάνειά της Γης σε όλα τα σημεία; 


                        


5 σχόλια:

  1. Με την ευκαιρία της ανάρτησης του ανωτέρω θέματος, να προσθέσω και τρία προβλήματα σχετικά με αυτό το θέμα. :) :) Ελπίζω ν' ασχοληθεί κάποιος με τη λύση τους :) :)
    * * *
    (1)Τα Κοτόπουλα από το Μινσκ Εναντίον του Δικτύου Πληροφορικής
    Ένα καλώδιο με οπτικές ίνες, το οποίο περικλείει κυκλικά τη γη, διέρχεται τυχαία μέσα από ένα ορνιθοτροφείο στο Μινσκ. Τα κοτόπουλα αρνούνται πεισματικά να δρασκελίσουν το καλώδιο ή να πετάξουν πάνω από αυτό, αλλά δέχονται μόνο να περάσουν κάτω από αυτό. Προφανώς το καλώδιο πρέπει να ανυψωθεί από το έδαφος κατά ένα πόδι, διαφορετικά τα κοτόπουλα κινδυνεύουν. Για τεχνικούς λόγους, αν γίνει αυτό στην περιοχή του ορνιθοτροφείου, θα πρέπει να γίνει το ίδιο και σε όλες τις περιοχές από τις οποίες διέρχεται το καλώδιο (δηλαδή, περιμετρικά γύρω από τη γη). Ο πτηνοτρόφος αρνείται να περάσει το καλώδιο μέσα από το αγρόκτημα του αν αυτό δεν ανυψωθεί κατά ένα πόδι. Ο αρμόδιος υπάλληλος του απαντά ότι αυτό θα γίνει, αρκεί ο πτηνοτρόφος να πληρώσει ένα δολάριο για κάθε πόδι του συμπληρωματικού καλωδίου που θα χρειαστεί. Ο πτηνοτρόφος δέχεται, με τον όρο να επιβαρυνθεί το κράτος το κόστος για τα υποστηρίγματα της καλωδίωσης. Τελικά τι επιβάρυνση θα έχει ο πτηνοτρόφος;
    * * *
    (2)Πόσο Σχοινί;
    Πόσο σχοινί θα χρειαστούμε για να κάνουμε το γύρο της Γης και να δέσουμε τα δύο άκρα, εάν στηρίζεται σε δοκούς ύψους 1 μέτρου; (Περίμετρος της Γης: 40.076,625 χιλιόμετρα.)
    * * *
    (3)Το Σχοινί
    Ένας ανόητος θέλει να δέσει ένα σχοινί γύρω από τη γη. Έτσι, αγοράζει ένα σχοινί μήκους 40.000χλμ Ο γείτονάς του, επίσης ένας ανόητος, θέλει να κάνει το ίδιο μόνο που θέλει το σχοινί να το δέσει σε στύλους που ν΄ απέχουν 1μέτρο πάνω από το έδαφος.
    α) Πόσο επί πλέον σχοινί θα χρειασθεί;
    β) Και πόσο περισσότερο σχοινί χρειάζεστε όταν χρησιμοποιείτε μια μπάλα του τένις, αντί της γης;
    * * *

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Το πρόβλημα Νο.1 προέρχεται από το βιβλίο των Yuri B. Chernyak και Robert M. Rose με τίτλο¨
    "Το Κοτόπουλο από το Μίνσκ.", 1995

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Εφόσον δεν λύθηκαν από κανέναν, ας δώσω τις λύσεις.

    (1)Ο πτηνοτρόφος θα πληρώσει μόνο 6,28$! Βάσει του τύπου p = 2πR βρίσκουμε το μήκος της περιφέρειας της Γης.
    p = Περιφέρεια Γης.
    π = 3,14159*
    R = Ακτίνα Γης.
    * Ο λόγος της περιφέρεια προς τη διάμετρο:
    π =p/2R=22/7
    Όποιο κι’ αν είναι το μήκος της ακτίνας R, εάν αυτό αυξηθεί κατά 1 πόδι**, το μήκος της περιφέρειας θα ισούται με 2π πόδια. Βάσει του ανωτέρω τύπου έχουμε:
    p = 2πR = 2*3,14159*1 = 2*3,14159 = 6,283185$
    Άρα ο πτηνοτρόφος θα πληρώσει 6,28$, για το επιπλέον καλώδιο που απαιτείται για την ανύψωση κατά ένα πόδι.
    **(1 πόδι = 30,48εκ. = 0,3048μ.= 0,0003048009χιλ.)

    (2)Θα χρειασθεί επί πλέον σχοινί κατά 6,28μέτρα.
    Π1 = Περιφέρεια Γης.
    π = 3,141594*
    R1 = Ακτίνα Γης.
    Π2 = Περιφέρεια Σχοινιού.
    R2 = Ακτίνα Σχοινιού.= 1μ.
    * Ο λόγος της περιφέρεια προς τη διάμετρο:
    π =p/2R=22/7
    Βάσει του τύπου Π1 = 2πR βρίσκουμε το μήκος της περιφέρειας της Γης.
    Βάσει του τύπου Π2 = 2π(R+1) βρίσκουμε το μήκος της περιφέρειας του σχοινιού.
    Από τις δύο ανωτέρω σχέσεις συνάγουμε ότι η περιφέρεια της Γης αυξάνεται κατά 2π.
    Π2 – Π1 = 2π(R+1) – 2πR = 2πR + 2π - 2πR = 2π = 2*3,141594 = 6,283188μέτρα

    (3) α)Θα χρειασθεί επί πλέον 6μέτρα και 28εκατοστά σχοινιού. H περιφέρεια ενός κύκλου ισούται με 2πR. Αν θέλουμε το σχοινί ν’ απέχει ένα μέτρο πάνω από το έδαφος τότε, Νέα ακτίνα = R+1. Έτσι θα πρέπει να έχετε [2p(R +1)-2πΡ] περισσότερο σχοινί. Βάσει των ανωτέρω έχουμε:
    x = 2π(R+1) -2πR ---> x = 2πR+2π-2πR ---> x = 2π ---->
    x =2*3,141594 ----> x = 6,28μέτρα
    β) Δεν έχει σημασία ποια είναι η ακτίνα του κύκλου. Θα πρέπει να έχετε πάντα 2πR περισσότερα σχοινί.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Επίσης, εύχομαι καλές γιορτές και Ευτυχισμένο το Νέο Έτος 2109!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...