Ένας ακόμα πρώτος αριθμός Μερσέν..

  Ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που έχει βρεθεί μεσω του GIMPS (*) μέχρι σήμερα-για την ακρίβεια πριν από δυο μέρες-είναι ο 2^82,589,933 − 1,ένας ασύλληπτα μεγάλος αριθμός, καθώς εκτιμάται ότι αν κάθε αριθμητικό ψηφίο αντιστοιχεί σε ένα εκατοστό, ο αριθμός θα γραφόταν σε μια ταινία χαρτιού μήκους μεγαλυτέρου των 248 χλμ. Πόσα ψηφία έχει ένας τέτοιος αριθμός; (Ήδη το απάντησα :) ).
Οι λογάριθμοι μας επιτρέπουν με  ένα κοινό κομπιουτεράκι  να βρούμε το ακριβές πλήθος των ψηφίων του αριθμού. Σκεφτείτε τον αριθμό 10  είναι διψήφιος ο αριθμός,ο 10² είναι τριψήφιος, ο 10³ είναι τετραψήφιος  κ.ο.κ. Γενικά παρατηρούμε ότι ο αριθμός 10^ν-1 είναι ν-ψηφιος αριθμός.Επειδή ο αριθμός  10^ν αποτελείται από μια μονάδα και  ν μηδενικά είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος με ν+1 ψηφία. Είναι προφανές λοιπόν ότι κάθε ακέραιος στο διάστημα  [10^ν-1 , 10^ν ) έχει ν ψηφία. Όμως  log10^ν-1 =ν-1 , log10^ν =ν 

                  

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:

▪ Κάθε ν-ψήφιος αριθμός έχει λογάριθμο στο διάστημα [ν-1 , ν)  .

Ή ισοδύναμα    

 ▪ Αν Μ θετικός  ακέραιος με ν ψηφία τότε   ν-1≤ logΜ<ν

Τα παραπάνω συμπεράσματα  είναι εξαιρετικά χρήσιμα για να προσδιορίσουμε το πλήθος των ψηφίων ενός πολύ μεγάλου αριθμού.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 5²⁰¹⁸.Πόσα ψηφία έχει;

Υπολογίζουμε το λογάριθμο

                              log  5²⁰¹⁸ =2018 log 5 =705.25064

                                  (log5 είναι περίπου 0,34948 )

Στρογγυλοποιούμε στον μεγαλύτερο ακέραιο άρα ο αριθμός 5²⁰¹⁸έχει 706 ψηφία.

Πίσω στο αρχικό ερώτημα.
O   2^82589933 -1 βρέθηκε στις 21 Ιανουαρίου 2018.

  Το πλήθος των ψηφίων του   2^82589933-1 είναι ακριβώς το ίδιο με το πλήθος των ψηφίων του   2^82589933 διότι κάθε δύναμη του 2 έχει τελευταίο ψηφίο 2,4,6 και 8  και όχι 0.

log2^82589933=82589933 log2=24862047,172878 στρογγυλοποιούμε στον μεγαλύτερο ακέραιο άρα ο αριθμός 2^82589933-1  έχει 24862048 ψηφία!

(*)Το GIMPS (Great Internet Prime Search), ελληνιστή η “μεγάλη διαδικτυακή ερεύνα πρώτων αριθμών του Mersenne  ”,είναι ένα πρόγραμμα που δημιουργήθηκε από τον προγραμματιστή του ΜΙΤ,George Woltman.Τι είναι; Ένα δίκτυο στο οποίο είναι συνδεδεμένοι οι προσωπικοί υπολογιστές των ατόμων που συμμετέχουν στο πρόγραμμα (ο καθένας μπορεί να συμμετέχει αν έχει υπολογιστή και μια σύνδεση στο διαδίκτυο) λειτουργούν εκ παραλλήλου εξομοιώνοντας επεξεργαστική ισχύ  πολύ ανώτερη από αυτή που μπορεί να έχει οποιοδήποτε  σημερινός υπερυπολογιστής. Σύμφωνα με το πρόγραμμα αυτό, κάθε χρήστης που θέλει να συνεργαστεί εγκαθιστά το κατάλληλο λογισμικό, που του παρέχει ο ιστότοπος του προγράμματος ,και ο υπολογιστής του εργάζεται στους νεκρούς του χρόνους  ενεργώντας ως προστασία οθόνης. Μην ανησυχείτε , η εκτέλεση του συγκεκριμένου λογισμικού είναι τελευταία στην ιεράρχηση των εργασιών που κάνει ο υπολογιστής σας και έτσι δεν θα εμποδίζει στην δουλειά που κάνετε. Ο υπολογιστής σας θα ελέγχει αν ένας αριθμός του Mersenne είναι πρώτος,δηλαδή αναζητά γιγαντιαίους πρώτους αριθμούς ως μέρος ένα παραλλήλου δικτύου προσωπικών υπολογιστών. Αξίζει να αναφερθεί ότι ένα δίκτυο  υπολογιστών που εργάζονται παράλληλα είναι ασύγκριτα πιο ισχυρό επεξεργαστικά από κάθε υπάρχοντα υπερυπολογιστή. Το πρόγραμμα άρχισε να λειτουργεί το 1997 και μέχρι τον Αύγουστο  του  2014 έχει εντοπιστεί ένα σύνολο 14 πρώτων αριθμών του Mersenne. Το Electronic Frontier Foundation (EFF),Ηλεκτρονικό Ίδρυμα  Πρωτοπορίας ,πρόσφερε έπαθλο 100000 δολαρίων στον πρώτο που –μέσω του GIMPS-θα ανακάλυπτε ένα πρώτο του Mersenne με ελάχιστο όριο δέκα εκατομμύρια ψηφία. Ένα διόλου ευκαταφρόνητο χρηματικό ποσό που οδήγησε κάποια μέλη του GIMPS  στην υπερβολή.Είναι γνωστό το περιστατικό υπαλλήλου τηλεφωνικής εταιρίας στην Αμερική που επιστράτευσε εν αγνοία των εργοδοτών του, καθένα από τους  2585 υπολογιστές της εταιρείας στο κυνήγι των πρώτων του Mersenne.Όταν έγινε αντιληπτός από τις διωκτικές αρχές, απολύθηκε. Το έπαθλο κατοχυρώθηκε στις 23 Αύγουστου του 2008, στον Έντσον Σμιθ, του τμήματος μαθηματικών του Πανεπιστήμιου της Καλιφόρνια, στο Λος Άντζελες, για την ανακάλυψη του  αριθμού 2^43112609-1.Ένα αριθμητικό «τέρας» που θα απαιτούσε τρεις χιλιάδες σελίδες Α4 χαρτιού για να γραφεί.