Ο τετραγωνισμός του ορθογωνίου

                      

   

  Ένας δύσκολος γρίφος που ταλάνισε τους μαθηματικούς για τουλάχιστον εκατό χρόνια αφορά την πράξη της «τετραγώνισης» ενός ορθογωνίου και ενός τετραγώνου.

Ο τετραγωνισμός του τετραγώνου είναι γνωστός ως τέλεια κατάτμηση (*).Το γενικό πρόβλημα είναι να πλακοστρωθεί ένα ορθογώνιο ή ένα τετράγωνο χρησιμοποιώντας τετραγωνικά πλακίδια διαφορετικών μεγεθών που εκφράζονται ως ακέραιοι. Αυτό μπορεί να φαίνεται εύκολο, και μπορείτε να πειραματιστείτε  ακόμα και με ένα μολύβι, χαρτί και τετραγωνισμένο χαρτί μιλιμετρέ, αλλά θα διαπιστώσετε ότι υπάρχουν ελάχιστες διατάξεις πλακιδίων που ταιριάζουν. Το πρώτο τετραγωνισμένο ορθογώνιο ανακαλύφθηκε το 1925 από τον Πολωνό μαθηματικό Zbigniew Moeon.Συγκεκριμένα, ο Moron βρήκε ένα ορθογώνιο 33x32 που μπορεί να πλακοστρωθεί με εννέα διαφορετικά τετράγωνα με μήκη 1,4,7,8,9,10,14,15 και 18.

  Ανακάλυψε επίσης ένα ορθογώνιο 65x47 που μπορεί να πλακοστρωθεί  με 10 τετράγωνα πλακίδια με μήκη 3,5,6,11,17,19,22,23,24,και 25.Για χρόνια οι μαθηματικοί ισχυρίζονταν ότι η τέλεια τετραγωνισμένη κατάτμηση τετραγώνων ήταν αδύνατο να πραγματοποιηθεί.

  Το 1940 ,τέσσερεις μαθηματικοί οι R.L.Brooks,C.A.B Smith,A.H.Stone και  W.T.Tutte  ανακάλυψαν το πρώτο τετραγωνισμένο, με 69 πλακίδια. Με περαιτέρω προσπάθεια ,ο Brooks μείωσε τον αριθμό των πλακιδίων σε 39.To 1962,o  Ολλανδός μαθηματικός A.W.J Duivestinjn απέδειξε ότι οποιοδήποτε τετραγωνισμένο τετράγωνο  πρέπει να περιέχει  τουλάχιστον 21 πλακίδια, και το 1978 βρήκε ένα τέτοιο τετράγωνο και απέδειξε ότι ήταν το μοναδικό.

Το 1993,ο S.J.Chapman βρήκε μια πλακόστρωση της λωρίδας του Μέμπιους χρησιμοποιώντας μόνο 5 τετράγωνα πλακίδια. Ένας κύλινδρος μπορεί επίσης να πλακοστρωθεί με τετράγωνα διαφορετικών μεγεθών, αλλά αυτό απαιτεί τουλάχιστον 9 πλακίδια.

Ο απόλυτος ιστότοπος για το θέμα: http://www.squaring.net/

 (*) Γεωμετρική κατατμηση ενός επιπέδου σχήματος είναι ο τεμαχισμός του με ευθειες τομες σε άλλα σχήματα και η αναταξη

τους κατά τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματιστεί ένα νέο επίπεδο πολυγωνικο σχήμα.Σημειώνω ότι τα κομμάτια πρέπει να αναταχτούν χρησιμοποιώντας μόνο άκαμπτες κινήσεις για να σχηματίσουν κάποιο άλλο καθορισμένο πολύγωνο. Τα δυο πολύγωνα λέμε ότι είναι ισοδύναμα μέσω κατάτμησης.