Δεν ξέρω ποιος Θανάσης😊, αλλά θα το τολμήσω .. Σε έναν πίνακα 21×21, οι σειρές αντιστοιχούν μία σε κάθε παίκτη και οι στήλες μία σε κάθε παίκτρια. Για καθένα από τα κελιά του πίνακα, το αντίστοιχο ζευγάρι παίκτη - παίκτριας εξ ορισμού είχαν κοινή μία τουλάχιστον δοκιμασία. Χαρακτηρίζουμε ένα κελί ως 3α αν μια δεδομένη κοινή δοκιμασία του ζευγαριού την είχαν τουλάχιστον 3 παίκτες και ως 3γ αν την υπόψη δοκιμασία την είχαν 3 τουλάχιστον παίκτριες. Δεδομένου ότι κάθε παίκτης εξ ορισμού είχε συνολικά ν≤6 δοκιμασίες, από αυτές ν-1 το πολύ είναι δυνατό να τις είχαν 2 το πολύ παίκτριες, και τη ν-οστή θα πρέπει να την είχαν τουλάχιστον 21-2(ν-1) ≥ 21-5*2=11 παίκτριες, αλλιώς θα υπήρχε ζευγάρι παίκτη - παίκτριας χωρίς καμία κοινή δοκιμασία. Επομένως στη σειρά καθενός από τους 21 παίκτες, υπάρχουν 11 τουλάχιστον κελιά τομής με ισάριθμες στήλες παικτριών που φέρουν το χαρακτηρισμό 3γ. Ομοίως, στη στήλη καθεμιάς από τις 21 παίκτριες, υπάρχουν 11 τουλάχιστον κελιά τομής με ισάριθμες σειρές παικτών που φέρουν το χαρακτηρισμό 3α. Έτσι, θα υπάρχουν τουλάχιστον 21*11=231 κελιά με χαρακτηρισμό 3γ και τουλάχιστον 21*11=231 κελιά με χαρακτηρισμό 3α, σε συνολικό αριθμό 21*21=441 κελιών. Επομένως, υπάρχει αναγκαστικά κελί και με τους δύο χαρακτηρισμούς, δηλαδή υπάρχει δοκιμασία κοινή σε 3 τουλάχιστον παίκτριες και 3 τουλάχιστον παίκτες ό.έ.δ.
Ναι Θανάση,αν και εγώ για να πάρω μυρωδιά πως λύνεται ,το είδα με άλλη διατύπωση: Έστω ότι έχουμε ένα πίνακα 21x21 και τοποθετούμε ακεραίους αριθμούς στα κελιά του. Κάθε στήλη και κάθε γραμμή έχει το πολύ 6 διαφορετικούς ακεραίους Να δείξετε ότι υπάρχουν 3 τουλάχιστον γραμμές και 3 τουλάχιστον στήλες που περιέχουν τον ίδιο ακέραιο. Προέρχεται από ΙΜΟ 2001
Συμπληρώνω μόνο ότι οι χαρακτηρισμοί 3α και 3γ, σε κάποιο κελί που έχει και τους δύο, πρέπει να αναφέρονται σε κάποια δοκιμασία που είχε τόσο ο παίκτης της σειράς όσο και η παίκτρια της στήλης του κελιού, δηλαδή σε μια κοινή δοκιμασία παίκτη-παίκτριας. Ξέρουμε όμως, εξ ορισμού, ότι υπήρξε κοινή δοκιμασία για κάθε ζευγάρι παίκτη-παίκτριας, άρα η κοινή αναφορά είναι εγγυημένη.
Το πρόβλημα δεν αλλάζει ουσιαστικά από τη μία διατύπωση στην άλλη, αφού μπορούμε μια κοινή δοκιμασία οποιουδήποτε ζευγαριού παίκτη-παίκτριας (κουρκούτι, παστίτσιο, μουσακά, κ.λπ. 😊) να την αντιστοιχίσουμε με τον ακέραιο στο κελί που είναι τομή της σειράς του παίκτη με τη στήλη της παίκτριας. Οι τύποι δοκιμασιών συνολικά μπορεί να μην ξέρουμε πόσοι ακριβώς είναι, ούτε πόσοι οι ακέραιοι. Η ουσία είναι ότι μπορούμε, και στη μία και στην άλλη περίπτωση, να εφαρμόζουμε με τον ίδιο τρόπο την p.h.p. για να αποδείξουμε το ζητούμενο..
Θανάση καλημέρα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΠότε θα δοθεί η λύση του;
Φιλικά,
Carlo
Μέχριτην Τρίτη Carlo,και μετά θα την ανεβάσω
ΔιαγραφήΔεν ξέρω ποιος Θανάσης😊, αλλά θα το τολμήσω
ΑπάντησηΔιαγραφή..
Σε έναν πίνακα 21×21, οι σειρές αντιστοιχούν μία σε κάθε παίκτη και οι στήλες μία σε κάθε παίκτρια.
Για καθένα από τα κελιά του πίνακα, το αντίστοιχο ζευγάρι παίκτη - παίκτριας εξ ορισμού είχαν κοινή μία τουλάχιστον δοκιμασία. Χαρακτηρίζουμε ένα κελί ως 3α αν μια δεδομένη κοινή δοκιμασία του ζευγαριού την είχαν τουλάχιστον 3 παίκτες και ως 3γ αν την υπόψη δοκιμασία την είχαν 3 τουλάχιστον παίκτριες.
Δεδομένου ότι κάθε παίκτης εξ ορισμού είχε συνολικά ν≤6 δοκιμασίες, από αυτές ν-1 το πολύ είναι δυνατό να τις είχαν 2 το πολύ παίκτριες, και τη ν-οστή θα πρέπει να την είχαν τουλάχιστον 21-2(ν-1) ≥ 21-5*2=11 παίκτριες, αλλιώς θα υπήρχε ζευγάρι παίκτη - παίκτριας χωρίς καμία κοινή δοκιμασία.
Επομένως στη σειρά καθενός από τους 21 παίκτες, υπάρχουν 11 τουλάχιστον κελιά τομής με ισάριθμες στήλες παικτριών που φέρουν το χαρακτηρισμό 3γ. Ομοίως, στη στήλη καθεμιάς από τις 21 παίκτριες, υπάρχουν 11 τουλάχιστον κελιά τομής με ισάριθμες σειρές παικτών που φέρουν το χαρακτηρισμό 3α.
Έτσι, θα υπάρχουν τουλάχιστον 21*11=231 κελιά με χαρακτηρισμό 3γ και τουλάχιστον 21*11=231 κελιά με χαρακτηρισμό 3α, σε συνολικό αριθμό 21*21=441 κελιών.
Επομένως, υπάρχει αναγκαστικά κελί και με τους δύο χαρακτηρισμούς, δηλαδή υπάρχει δοκιμασία κοινή σε 3 τουλάχιστον παίκτριες και 3 τουλάχιστον παίκτες ό.έ.δ.
Ναι Θανάση,αν και εγώ για να πάρω μυρωδιά πως λύνεται ,το είδα με άλλη διατύπωση:
ΔιαγραφήΈστω ότι έχουμε ένα πίνακα 21x21 και τοποθετούμε ακεραίους αριθμούς στα κελιά του. Κάθε στήλη και κάθε γραμμή έχει το πολύ 6 διαφορετικούς ακεραίους Να δείξετε ότι υπάρχουν 3 τουλάχιστον γραμμές και 3 τουλάχιστον στήλες που περιέχουν τον ίδιο ακέραιο.
Προέρχεται από ΙΜΟ 2001
Συμπληρώνω μόνο ότι οι χαρακτηρισμοί 3α και 3γ, σε κάποιο κελί που έχει και τους δύο, πρέπει να αναφέρονται σε κάποια δοκιμασία που είχε τόσο ο παίκτης της σειράς όσο και η παίκτρια της στήλης του κελιού, δηλαδή σε μια κοινή δοκιμασία παίκτη-παίκτριας. Ξέρουμε όμως, εξ ορισμού, ότι υπήρξε κοινή δοκιμασία για κάθε ζευγάρι παίκτη-παίκτριας, άρα η κοινή αναφορά είναι εγγυημένη.
ΔιαγραφήΤο πρόβλημα δεν αλλάζει ουσιαστικά από τη μία διατύπωση στην άλλη, αφού μπορούμε μια κοινή δοκιμασία οποιουδήποτε ζευγαριού παίκτη-παίκτριας (κουρκούτι, παστίτσιο, μουσακά, κ.λπ. 😊) να την αντιστοιχίσουμε με τον ακέραιο στο κελί που είναι τομή της σειράς του παίκτη με τη στήλη της παίκτριας. Οι τύποι δοκιμασιών συνολικά μπορεί να μην ξέρουμε πόσοι ακριβώς είναι, ούτε πόσοι οι ακέραιοι. Η ουσία είναι ότι μπορούμε, και στη μία και στην άλλη περίπτωση, να εφαρμόζουμε με τον ίδιο τρόπο την p.h.p. για να αποδείξουμε το ζητούμενο..
ΑπάντησηΔιαγραφή