«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Τρίτη, 6 Οκτωβρίου 2020

Το πρόβλημα του Μόντι Χωλ και οι δίδυμες παίκτριες


  Όλοι γνωρίζετε το παράδοξο του Μόντι Χωλ (http://mathhmagic.blogspot.com/2016/02/blog-post_28.html ),ένα προβληματάκι ελαφρά παραλλαγμένο που βρήκα στο διαδίκτυο.

  Το σενάριο του προβλήματος περιλαμβάνει ένα τηλεπαιχνίδι και τρεις πόρτες. Πίσω από μια πόρτα βρίσκεται ένα αυτοκίνητο. Πίσω από μια δεύτερη πόρτα βρίσκονται τα κλειδιά του αυτοκινήτου. Πίσω από την τρίτη πόρτα υπάρχει μια κατσίκα. Το αυτοκίνητο, τα κλειδιά και η κατσίκα τοποθετήθηκαν εκεί τυχαία, πράγμα που σημαίνει ότι κάθε αντικείμενο έχει πιθανότητα 1/3 να βρίσκεται πίσω από οποιαδήποτε συγκεκριμένη πόρτα.Οι  δίδυμες παίκτριες  Μαρία και Νίκη, οι διαγωνιζόμενες,είναι στα παρασκήνια της παράστασης του παιχνιδιού.

Τους δίνονται οι εξής κανόνες:

 1.Η  Μαρία  θα βρεθεί πρώτη στη σκηνή. Θα της ζητηθεί να ανοίξει δύο από τις πόρτες και μετά να τις κλείσει. Τότε η Μαρία  θα οδηγηθεί εκτός σκηνής σε μια αίθουσα μόνη της.

 2. Η Νίκη  θα μεταφερθεί στη σκηνή. Θα κληθεί να ανοίξει δύο από τις πόρτες.

 Εάν η Μαρία ανοίξει την πόρτα με το αυτοκίνητο και η Νίκη  ανοίξει την πόρτα με τα κλειδιά, τότε οι δύο παίκτριες μπορούν να κρατήσουν το αυτοκίνητο. Σε όλα τα άλλα αποτελέσματα, φεύγουν χωρίς έπαθλο.Στις δίδυμες δίνονται 10 λεπτά για να σκεφτούν μια στρατηγική νίκης πριν η Μαρία ανέβει στη σκηνή.

Ποια στρατηγική τους δίνει την μεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσουν το αυτοκίνητο;

  Να σημειώσουμε οτι,οι δίδυμες δεν ξέρουν τι είναι πίσω από οποιαδήποτε από τις πόρτες προτού τους ζητήσουν να ανοίξουν μια πόρτα. Όταν ανοίγουν μια πόρτα, το μόνο που βλέπουν είναι αυτό που βρίσκεται πίσω από αυτήν. Το αυτοκίνητο, τα κλειδιά του αυτοκινήτου και η κατσίκα μένουν πίσω από την ίδια πόρτα κατά τη διάρκεια του προγράμματος. Όταν η Μαρία είναι στη σκηνή ανοίγοντας τις δύο της πόρτες, η Νίκη δεν μπορεί να δει ή να ακούσει τι συμβαίνει. Έτσι, όταν η Νίκη επιλέγει τις δύο πόρτες της, δεν έχει ιδέα τι ήταν πίσω από τις δύο πόρτες που άνοιξε ο Μαρία.

 Εάν οι δίδυμες παίκτριες δεν έχουν στρατηγική, δηλαδή, εάν και οι δύο επιλέξουν δύο πόρτες τυχαία, η πιθανότητα η Μαρία να πάρει το αυτοκίνητο είναι 2/3 και η πιθανότητα η Νίκη να πάρει τα κλειδιά είναι επίσης 2/3.

Η πιθανότητα να φύγουν από το στούντιο το αυτοκίνητο είναι:  2/3 x 2/3 = 4/9 = 44 %.

 Ωστόσο, υπάρχει μια στρατηγική που τους δίνει περισσότερο από 50 %  πιθανότητα να διατηρήσουν το αυτοκίνητο. Ποια  είναι αυτή;

3 σχόλια:

  1. Έστω 1, 2 και 3 οι τρεις πόρτες. Μια στρατηγική που τους δίνει περισσότερο από 50 % πιθανότητα να πάρουν το αυτοκίνητο είναι η Μαρία να ανοίξει την πόρτα 1 πρώτα. Εάν αποκαλύψει είτε το αυτοκίνητο είτε τα κλειδιά, θα πρέπει μετά να ανοίξει την πόρτα 2. Αλλά αν η πόρτα 1 αποκαλύψει την κατσίκα, πρέπει να ανοίξει την πόρτα 3.
    Η Νίκη έπειτα, πρέπει να ανοίξει πρώτα την πόρτα 2. Εάν αποκαλύψει είτε το αυτοκίνητο είτε τα κλειδιά, θα πρέπει να ανοίξει την πόρτα 1 στη συνέχεια. Αλλά αν η πόρτα 2 αποκαλύψει την κατσίκα, θα πρέπει να ανοίξει την πόρτα 3.
    Ακολουθούν οι έξι πιθανές διατάξεις αυτοκινήτων (C), κλειδιών (K) και κατσίκων (G) πίσω από τις πόρτες 1, 2 και 3:
    CKG √
    CGK √
    KGC
    KCG √
    GCK
    GKC √
    Έχω σημειώσει τις διατάξεις που η Μαρία βλέπει το αυτοκίνητο και η Νίκη τα κλειδιά, κάτι που συμβαίνει σε τέσσερις από τις έξι εξίσου πιθανές περιπτώσεις. Άρα οι πιθανότητες να κερδίσουν το αυτοκίνητο είναι 4/6 = 66%.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. https://www.theguardian.com/science/2020/aug/24/did-you-solve-it-win-the-car-dodge-the-goat

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...