Θανάση, Η λύση του προβλήματος βασίζεται στην ίδια φιλοσοφία με τη λύση του προβλήματος των ηλικιών των τριών παιδιών και το πρόβλημα των δύο αριθμών. Όρα κατωτέρω μια παραλλαγή.
Οι Δύο αριθμοί Ενας σουλτανος,θελοντας να δοκιμασει τους δυο πιο σοφους μαθηματικους του βασιλειου του,τους καλει και ανακοινωνει ταυτοχρονα και στους δυο τα εξης: "Θελω να μαντεψετε δυο ακεραιους αριθμους,οι οποιοι ειναι μεγαλυτεροι της μοναδας και το αθροισμα τους ειναι μικροτερο του 60.Στον εναν απο σας θα πω - μυστικα απο τον αλλον - το αθροισμα των δυο αριθμων και στον αλλον - επισης μυστικα - το γινομενο τους". Πραγματι,λεει στον εναν (ας τον ονομασουμε Α) το αθροισμα των δυο αριθμων και στον δευτερο (ας τον ονομασουμε Β) το γινομενο τους.Κατοπιν ο σουλτανος απομονωνει τους δυο μαθηματικους ετσι ωστε να ειναι αδυνατη καθε επαφη μεταξυ τους και τους δινει προθεσμια για να βρουν τη λυση του προβληματος. Στην καθορισμενη ημερα,οι δυο σοφοι εμφανιζοντα μπροστα στο σουλτανο και κανουν κατα σειρα τις εξης δηλωσεις: Β: "Δε γνωριζω ποιοι ειναι οι δυο αριθμοι". Α: "Το γνωριζα οτι δε τους γνωριζεις,αλλα ουτε κι εγω τους γνωριζω". Β: (αφου σκεφτεται λιγο): "Τοτε εγω τους βρηκα". Α: (αφου σκεφτεται κι αυτος λιγο): "Τοτε κι εγω τους βρηκα". Με βαση τις παραπανω δηλωσεις,να βρεθουν οι δυο ακεραιοι αριθμοι.
Το πρόβλημα που αναφέρεις carlo είναι πιο δύσκολο. Το είχε πάρει το μάτι μου στο Mathematica (https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=1989) πριν από χρόνια Θέλει έξυπνες δοκιμές για να λυθεί.
Πολύ καλό το πρόβλημα! Αλλά παρουσιάζει εξαιρετικό ενδιαφέρον και το ότι έχει ζητηθεί σε υποψήφιους φοιτητές του τμήματος Φιλοσοφίας στην Οξφόρδη, ενώ εδώ η έννοια και το πρόγραμμα σπουδών των "αντίστοιχων" Φιλοσοφικών Σχολών είναι ξερή γνώση με μηδαμινή κρίση.
Ναι έχεις δίκιο, καμία σχέση με το δικό μας μίζερο πανεπιστημιακό σύμπαν.Αυτή είναι η πηγή με δυο ακόμα προβλήματα: https://www.theguardian.com/science/2021/jul/12/did-you-solve-it-oxford-university-admissions-questions Αν διαβάσεις το άρθρο του Bellos θα δεις ότι αναφέρει δυο καθηγητές ως δημιουργούς των προβλημάτων , ο ενας είναι μαθηματικός και διδάσκει Λογική.
Ναι, πραγματικά, είναι δύσκολο πρόβλημα και χρειάζονται έξυπνες δοκιμές, όπως γράφεις. Ιδού μια από τις λύσεις που έδωσαν: Λύση: Δύσκολος γρίφος, όποιος έχει γνώσεις προγραμματισμού μπορεί να φτιάξει ένα πρόγραμμα που να του δώσει γρήγορα την απάντηση. Θα προσπαθήσω να βάλω μια σύντομη (όσο σύντομη μπορούσα να βρω) λύση: Από την πρώτη πρόταση ξέρουμε ότι δεν γίνεται και οι δύο αριθμοι να είναι πρώτοι. Από την δεύτερη πρόταση μαθαίνουμε ότι δεν μπορεί το άθροισμα να γραφτεί σαν άθροισμα δύο πρώτων. (Αλλιώς ο Α δεν θα γνώριζε ότι ο Β δεν γνώριζε.) Όλοι οι άρτιοι αριθμοί μικρότεροι του 60 είναι άθροισμα δύο πρώτων. Οι μόνοι περιττοί αριθμοί που είναι άθροισμα δύο πρώτων είναι της μορφής 2 + p, όπου p πρώτως. Άρα το άθροισμα πρέπει να είναι ένα από τα 11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59 (Ελπίζω να μην άφησα κάποιο πίσω.) Ο Β το γνωρίζει πλέον αυτό. (Και ο Α το γνωρίζει ότι ο Β το γνωρίζει.) Αν το άθροισμα ήταν 11, τότε αν ήταν 4+7 ο Β θα το καταλάβαινε. (Ο μόνος τρόπος να γραφεί το 28 σαν γινόμενο αβ ώστε το άθροισμα να είναι άρτιο είνα 4*7) Ομοίως και αν ήταν 3+8. Άρα ο Α δεν μπορεί να ξεχωρίσει (μετά την δεύτερη πρόταση του Β) αν οι αριθμοί είναι 4 και 7 ή 3 και 8. [Βασική παρατήρηση: και τα δύο αθροίσματα είναι της μορφής "δύναμη του 2 + πρώτος".] Ομοίως απορρίπτονται το 23=4+19,16+17, 27=4+23,16+11, 35=4+31=16+19, 37=8+29=32+5,47=4+43=16+31,51=4+47=8+43,57=4+53=16+41,59=8+51=16+43 Άρα το άθροισμα πρέπει να είναι 17,41 ή 53 Αλλά 41=4+37=16+25. Αν 4+37 ο Β γνωρίζει τους αριθμούς. Αν 16+25 πάλι ο Β γνωρίζει τους αριθμούς επειδή του έχουμε πει ότι το άθροισμα είναι το πολύ 60. 53=16+37=6+47. Αν 16+37 ο Β γνωρίζει τους αριθμούς. Αν 6+47 πάλι ο Β γνωρίζει τους αριθμούς επειδή του έχουμε πει ότι το άθροισμα είναι το πολύ 60. Άρα πρέπει το άθροισμα να είναι 17. Αν οι αριθμοί είναι 4+13 τότε ο Β γνωρίζει τους αριθμούς. Μένει να δείξουμε ότι και ο Α τους γνωρίζει. (Εκτός και αν είναι δεδομένο από το πρόβλημα ότι υπάρχει απάντηση και άρα αφού αποκλείσαμε όλες τις άλλες τότε πρέπει να είναι αυτή.) Ο Α λέει: Δεν μπορεί να είναι 2+15 διότι ο Β δεν ξεχωρίζει μεταξύ 2*15 και 5*6 (Προσοχή εδώ: Ο Β γνωρίζει πως το γινόμενο δεν είναι 3*10 επειδή το 13 είναι άθροισμα δύο πρώτων) κτλ. Πάρα πολύ σωστά...Μπράβο... Τώρα ας αλλάξουμε μερικά πράγματα... Αν οι αριθμοί που τους ζητάει να μαντέψουν ο σουλτάνος δεν είναι μεγαλύτεροι του ένα αλλά θετικοί ακέραιοι και η συζήτησή τους έχει ως εξής: Α:Δεν ξερω ποιοι είναι οι δύο αριθμοί Β:Ούτε εγώ ξέρω ποιοι είναι οι δύο αριθμοί Α:Τώρα εγώ ξέρω Β:Τώρα ξέρω και εγώ Τι αλλάζει στην όλη διαδικασία? Ο γρίφος γίνεται πιο εύκολος. Οι αριθμοί δεν μπορεί να είναι (1,1) ή (2,1) γιατί τότε και οι δύο θα γνώριζαν. Θα είχαν άθροισμα 2 και γινόμενο 1, το οποίο συμβαίνει μόνο με το ζευγάρι (1,1), ή θα είχαν άθροισμα 3 και γινόμενο 2 το οποίο συμβαίνει μόνο με το ζευγάρι (2,1). Άρα το άθροισμα θα είναι τουλάχιστον 4. Ο Β μπορεί να γνωρίζει μόνο σε μία περίπτωση: όταν έχει γινόμενο p, με p πρώτο αριθμό μεγαλύτερο του 2, και το ζευγάρι θα είναι (p,1). Τότε το άθροισμα θα ήταν p+1. Ο Β όμως δεν γνωρίζει άρα το ζευγάρι δεν μπορεί να είναι (p,1). Η άγνοια του Β μπορεί να βοηθήσει τον Α μόνο στην περίπτωση που έχει άθροισμα p+1 και έτσι μπορεί να απορρίψει το ζευγάρι (p,1). Αν το p ήταν 5, 7, 11, ... τότε ο Α δεν θα μπορούσε να απορρίψει τα περισσότερα από 2 ζευγάρια αριθμών που κάνουν το άθροισμα p+1, (τα (2, p-1), (3, p-2),...). Άρα θα πρέπει p=3. Τότε το άθροισμα είναι 4 και τα ζευγάρια είναι (3,1), το οποίο απορρίπτεται λόγω της άγνοιας του Β, και το (2, 2) το οποίο είναι δεκτό από τον Α - άρα γνωρίζει. Γνωρίζει τώρα και ο Β γιατί: Αφού το ζευγάρι είναι το (2,2) , θα έχει γινόμενο 4. Για τον Β συνεπώς υπάρχουν δύο ζευγάρια το (4,1) και το (2,2). Κατάλαβε όμως από την αντίδραση του Α ότι το άθροισμα των αριθμών είναι της μορφής p+1 και έτσι, απορρίπτει το ζευγάρι (4,1). Άρα το ζευγάρι των αριθμών είναι το (2,2). Φιλικά, Carlo
Νομίζω ότι πάλι λυνόταν.Θα το πηγαίναμε ανάποδα. Δηλαδή, αποκλείεται να δόθηκε στο Βασίλη η στήλη C ,αποκλείεται και η στήλη A ( δεν θα μπορούσε διαφορετικά να είναι σίγουρος ότι δεν δόθηκε στην Άννα η γραμμή 3 και να ήξερε που είναι το δώρο) .Από την άλλη στην Άννα αποκλείεται αν δόθηκε η γραμμή 3 για προφανείς λόγους έχει συμπεράνει από την πρώτη δήλωση του Βασίλη ότι του δόθηκε η στήλη Β ή D.Τώρα μένουν τρεις επιλογές για την Άννα οι γραμμές 1,2,4 μόνο σε μια θα μπορούσε να βρει το δώρο στην 4 ,άρα επίμαχο κελί θα ήταν το D4
Θανάση,
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ λύση του προβλήματος βασίζεται στην ίδια φιλοσοφία με τη λύση του προβλήματος των ηλικιών των τριών παιδιών και το πρόβλημα των δύο αριθμών. Όρα κατωτέρω μια παραλλαγή.
Οι Δύο αριθμοί
Ενας σουλτανος,θελοντας να δοκιμασει τους δυο πιο σοφους μαθηματικους του βασιλειου του,τους καλει και ανακοινωνει ταυτοχρονα και στους δυο τα εξης:
"Θελω να μαντεψετε δυο ακεραιους αριθμους,οι οποιοι ειναι μεγαλυτεροι της μοναδας και το αθροισμα τους ειναι μικροτερο του 60.Στον εναν απο σας θα πω - μυστικα απο τον αλλον - το αθροισμα των δυο αριθμων και στον αλλον - επισης μυστικα - το γινομενο τους".
Πραγματι,λεει στον εναν (ας τον ονομασουμε Α) το αθροισμα των δυο αριθμων και στον δευτερο (ας τον ονομασουμε Β) το γινομενο τους.Κατοπιν ο σουλτανος απομονωνει τους δυο μαθηματικους ετσι ωστε να ειναι αδυνατη καθε επαφη μεταξυ τους και τους δινει προθεσμια για να βρουν τη λυση του προβληματος.
Στην καθορισμενη ημερα,οι δυο σοφοι εμφανιζοντα μπροστα στο σουλτανο και κανουν κατα σειρα τις εξης δηλωσεις:
Β: "Δε γνωριζω ποιοι ειναι οι δυο αριθμοι".
Α: "Το γνωριζα οτι δε τους γνωριζεις,αλλα ουτε κι εγω τους γνωριζω".
Β: (αφου σκεφτεται λιγο): "Τοτε εγω τους βρηκα".
Α: (αφου σκεφτεται κι αυτος λιγο): "Τοτε κι εγω τους βρηκα".
Με βαση τις παραπανω δηλωσεις,να βρεθουν οι δυο ακεραιοι αριθμοι.
Φιλικά,
Carlo
Το πρόβλημα που αναφέρεις carlo είναι πιο δύσκολο. Το είχε πάρει το μάτι μου στο Mathematica (https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=1989) πριν από χρόνια Θέλει έξυπνες δοκιμές για να λυθεί.
ΔιαγραφήΠολύ καλό το πρόβλημα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΑλλά παρουσιάζει εξαιρετικό ενδιαφέρον και το ότι έχει ζητηθεί σε υποψήφιους φοιτητές του τμήματος Φιλοσοφίας στην Οξφόρδη, ενώ εδώ η έννοια και το πρόγραμμα σπουδών των "αντίστοιχων" Φιλοσοφικών Σχολών είναι ξερή γνώση με μηδαμινή κρίση.
Ναι έχεις δίκιο, καμία σχέση με το δικό μας μίζερο πανεπιστημιακό σύμπαν.Αυτή είναι η πηγή με δυο ακόμα προβλήματα: https://www.theguardian.com/science/2021/jul/12/did-you-solve-it-oxford-university-admissions-questions
ΔιαγραφήΑν διαβάσεις το άρθρο του Bellos θα δεις ότι αναφέρει δυο καθηγητές ως δημιουργούς των προβλημάτων , ο ενας είναι μαθηματικός και διδάσκει Λογική.
Ναι, πραγματικά, είναι δύσκολο πρόβλημα και χρειάζονται έξυπνες δοκιμές, όπως γράφεις. Ιδού μια από τις λύσεις που έδωσαν:
ΑπάντησηΔιαγραφήΛύση:
Δύσκολος γρίφος, όποιος έχει γνώσεις προγραμματισμού μπορεί να φτιάξει ένα πρόγραμμα που να του δώσει γρήγορα την απάντηση.
Θα προσπαθήσω να βάλω μια σύντομη (όσο σύντομη μπορούσα να βρω) λύση:
Από την πρώτη πρόταση ξέρουμε ότι δεν γίνεται και οι δύο αριθμοι να είναι πρώτοι. Από την δεύτερη πρόταση μαθαίνουμε ότι δεν μπορεί το άθροισμα να γραφτεί σαν άθροισμα δύο πρώτων. (Αλλιώς ο Α δεν θα γνώριζε ότι ο Β δεν γνώριζε.) Όλοι οι άρτιοι αριθμοί μικρότεροι του 60 είναι άθροισμα δύο πρώτων. Οι μόνοι περιττοί αριθμοί που είναι άθροισμα δύο πρώτων είναι της μορφής 2 + p, όπου p πρώτως. Άρα το άθροισμα πρέπει να είναι ένα από τα
11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59
(Ελπίζω να μην άφησα κάποιο πίσω.)
Ο Β το γνωρίζει πλέον αυτό. (Και ο Α το γνωρίζει ότι ο Β το γνωρίζει.) Αν το άθροισμα ήταν 11, τότε αν ήταν 4+7 ο Β θα το καταλάβαινε. (Ο μόνος τρόπος να γραφεί το 28 σαν γινόμενο αβ ώστε το άθροισμα να είναι άρτιο είνα 4*7) Ομοίως και αν ήταν 3+8. Άρα ο Α δεν μπορεί να ξεχωρίσει (μετά την δεύτερη πρόταση του Β) αν οι αριθμοί είναι 4 και 7 ή 3 και 8. [Βασική παρατήρηση: και τα δύο αθροίσματα είναι της μορφής "δύναμη του 2 + πρώτος".]
Ομοίως απορρίπτονται το 23=4+19,16+17, 27=4+23,16+11, 35=4+31=16+19, 37=8+29=32+5,47=4+43=16+31,51=4+47=8+43,57=4+53=16+41,59=8+51=16+43
Άρα το άθροισμα πρέπει να είναι 17,41 ή 53
Αλλά 41=4+37=16+25. Αν 4+37 ο Β γνωρίζει τους αριθμούς. Αν 16+25 πάλι ο Β γνωρίζει τους αριθμούς επειδή του έχουμε πει ότι το άθροισμα είναι το πολύ 60.
53=16+37=6+47. Αν 16+37 ο Β γνωρίζει τους αριθμούς. Αν 6+47 πάλι ο Β γνωρίζει τους αριθμούς επειδή του έχουμε πει ότι το άθροισμα είναι το πολύ 60.
Άρα πρέπει το άθροισμα να είναι 17. Αν οι αριθμοί είναι 4+13 τότε ο Β γνωρίζει τους αριθμούς. Μένει να δείξουμε ότι και ο Α τους γνωρίζει. (Εκτός και αν είναι δεδομένο από το πρόβλημα ότι υπάρχει απάντηση και άρα αφού αποκλείσαμε όλες τις άλλες τότε πρέπει να είναι αυτή.)
Ο Α λέει: Δεν μπορεί να είναι 2+15 διότι ο Β δεν ξεχωρίζει μεταξύ 2*15 και 5*6 (Προσοχή εδώ: Ο Β γνωρίζει πως το γινόμενο δεν είναι 3*10 επειδή το 13 είναι άθροισμα δύο πρώτων) κτλ.
Πάρα πολύ σωστά...Μπράβο...
Τώρα ας αλλάξουμε μερικά πράγματα...
Αν οι αριθμοί που τους ζητάει να μαντέψουν ο σουλτάνος δεν είναι μεγαλύτεροι του ένα αλλά θετικοί ακέραιοι και η συζήτησή τους έχει ως εξής:
Α:Δεν ξερω ποιοι είναι οι δύο αριθμοί
Β:Ούτε εγώ ξέρω ποιοι είναι οι δύο αριθμοί
Α:Τώρα εγώ ξέρω
Β:Τώρα ξέρω και εγώ
Τι αλλάζει στην όλη διαδικασία?
Ο γρίφος γίνεται πιο εύκολος.
Οι αριθμοί δεν μπορεί να είναι (1,1) ή (2,1) γιατί τότε και οι δύο θα γνώριζαν. Θα είχαν άθροισμα 2 και γινόμενο 1, το οποίο συμβαίνει μόνο με το ζευγάρι (1,1), ή θα είχαν άθροισμα 3 και γινόμενο 2 το οποίο συμβαίνει μόνο με το ζευγάρι (2,1).
Άρα το άθροισμα θα είναι τουλάχιστον 4.
Ο Β μπορεί να γνωρίζει μόνο σε μία περίπτωση: όταν έχει γινόμενο p, με p πρώτο αριθμό μεγαλύτερο του 2, και το ζευγάρι θα είναι (p,1).
Τότε το άθροισμα θα ήταν p+1.
Ο Β όμως δεν γνωρίζει άρα το ζευγάρι δεν μπορεί να είναι (p,1).
Η άγνοια του Β μπορεί να βοηθήσει τον Α μόνο στην περίπτωση που έχει άθροισμα p+1 και έτσι μπορεί να απορρίψει το ζευγάρι (p,1).
Αν το p ήταν 5, 7, 11, ... τότε ο Α δεν θα μπορούσε να απορρίψει τα περισσότερα από 2 ζευγάρια αριθμών που κάνουν το άθροισμα p+1, (τα (2, p-1), (3, p-2),...).
Άρα θα πρέπει p=3.
Τότε το άθροισμα είναι 4 και τα ζευγάρια είναι (3,1), το οποίο απορρίπτεται λόγω της άγνοιας του Β,
και το (2, 2) το οποίο είναι δεκτό από τον Α - άρα γνωρίζει.
Γνωρίζει τώρα και ο Β γιατί:
Αφού το ζευγάρι είναι το (2,2) , θα έχει γινόμενο 4.
Για τον Β συνεπώς υπάρχουν δύο ζευγάρια το (4,1) και το (2,2).
Κατάλαβε όμως από την αντίδραση του Α ότι το άθροισμα των αριθμών είναι της μορφής p+1 και έτσι, απορρίπτει το ζευγάρι (4,1).
Άρα το ζευγάρι των αριθμών είναι το (2,2).
Φιλικά,
Carlo
Καλημέρα! Τι θα γίνονταν αν το πρόβλημα ήταν ανάποδα...
ΑπάντησηΔιαγραφήΔηλαδή αν ο Βασίλης γνώριζε τον αριθμό της στήλης αλλά η Άννα τον αριθμό της γραμμής και γίνονταν ακριβώς η ίδια συζήτηση και με την ίδια σειρά...
Νομίζω ότι πάλι λυνόταν.Θα το πηγαίναμε ανάποδα. Δηλαδή, αποκλείεται να δόθηκε στο Βασίλη η στήλη C ,αποκλείεται και η στήλη A ( δεν θα μπορούσε διαφορετικά να είναι σίγουρος ότι δεν δόθηκε στην Άννα η γραμμή 3 και να ήξερε που είναι το δώρο) .Από την άλλη στην Άννα αποκλείεται αν δόθηκε η γραμμή 3 για προφανείς λόγους έχει συμπεράνει από την πρώτη δήλωση του Βασίλη ότι του δόθηκε η στήλη Β ή D.Τώρα μένουν τρεις επιλογές για την Άννα οι γραμμές 1,2,4 μόνο σε μια θα μπορούσε να βρει το δώρο στην 4 ,άρα επίμαχο κελί θα ήταν το D4
ΑπάντησηΔιαγραφήΜπράβο!!!
Διαγραφή