Η κωδωνοειδής καμπύλη του Gauss και το Quincunx

 

« Πρέπει να υπάρχει κάτι μυστηριώδες με την κανονική κατανομή, αφού οι μαθηματικοί πιστεύουν ότι είναι νόμος της φύσης ενώ οι φυσικοί είναι πεπεισμένοι ότι είναι μαθηματικό θεώρημα.»                                           

                                                                                    Ανρί Πουανκαρέ

 

Η καμπύλη του Gauss  είναι πολύ δημοφιλής στα μαθηματικά. Το σχήμα της αντιστοιχεί στο ιστόγραμμα  που αναπαριστά ένα μεγάλο σύνολο τιμών που επηρεάζονται από αυτό που ονομάζουμε  φυσιολογική μεταβλητότητα. Για παράδειγμα, τα πακέτα φασόλια του ενός κιλού  δεν ζυγίζουν ακριβώς 1000 γραμμάρια. Κάποια ζυγίζουν περισσότερο κάποια περισσότερο. Αυτή είναι μια αναπόφευκτη διακύμανση, που προκαλείται από ανεπαίσθητους παράγοντες τους οποίους δεν είναι δυνατό ένα εντοπίσουμε με γυμνό μάτι, αλλά που ως σύνολο έχουν μια επίδραση που γίνεται αισθητή. Στο γράφημα που ακολουθεί παρατηρούμε ότι οι τιμές  είναι συσσωρευμένες γύρω από μια  κεντρική τιμή και καθώς απομακρυνόμαστε από αυτή, οι παρατηρήσεις γίνονται όλο και πιο αραιές. Είναι η κλασσική μορφή της κωδωνοειδούς καμπύλης  του Gauss  ή διαφορετικά  της κανονικής κατανομής.

Η μαθηματική έκφραση της καμπύλης υπολογίστηκε για πρώτη φορά  το 1733 από την Γάλλο μαθηματικό Αβραάμ Ντε Μουαβρ, αλλά αδίκως πιστώθηκε στον Γερμανό Καρλ Φρίντριχ Γκάους(Ελέω του νόμου των φερωνύμων https://mathhmagic.blogspot.com/2022/06/stigler-stiglers-law-of-eponymy.html ).Ο  Γκάους, το 1809, την χρησιμοποίησε  για να εξηγήσει την θεωρία του περί των μετρητικών σφαλμάτων, ειδικά όταν αναφερόμαστε σε αστρονομικές παρατηρήσεις. Ο Γκάους απέδειξε ότι ανεξαρτήτως αν το μετρούμενο αντικείμενο είναι κοντά ή μακριά, αν είναι μεγάλο ή μικρό, εάν οι μετρήσεις επαναληφτούν υπό τις ίδιες συνθήκες, οι ληφθείσες τιμές θα κατανέμονται  πάντα με αυτόν τον «καμπανιστό» τρόπο.

   Η κωδωνοειδής καμπύλη κατέχει εξέχουσα θέση στην στατιστική  όχι μόνο γιατί  εξηγεί την διακύμανση των σφαλμάτων, αλλά κυρίως επειδή αντιπροσωπεύει  ένα  είδος μεταβλητότητας  που συναντάται συχνά στην φύση. Γεγονός που επιβεβαιώθηκε από τον Βέλγο στατιστικό Adolph Quetelet, που κατά την διάρκεια  του 19^ου  αιώνα πραγματοποίησε πολυάριθμες έρευνες για να τονίσει την σημασία την στατιστικής κανονικότητας (αριθμός εγκλημάτων, γεννήσεων, θανάτων, κ.τ.λ)

-Το IQ  αποτελεί το δείκτη ευφυΐας των ατόμων και ακoλουθει την κανονική κατανομή

-«Ζωντανό» ιστόγραμμα που κατατάσσει φοιτητές σύμφωνα με το ύψος τους και ακολουθεί την κανονική κατανομή. (Β.L.Joiner (1976))

  O Φράνσις Γκάλτον(1822-1911),ο εκκεντρικός Άγγλος στατιστικός, μετεωρολόγος, φιλόσοφος, ψυχολόγος.Είχε εμμονή με το μέτρημα και τον αριθμητικό καθορισμό πάσης φύσεως ποσοτήτων. 

  Για να απεικονίσει την  «κανονική» μορφή που παρουσιάζει η διασπορά των μετρήσεων ενός χαρακτηριστικού επινόησε μια συσκευή που ονόμασε Quincunx στην οποία αφήνονται να πέσουν μπάλες πάνω σε ένα σύστημα από πείρους  οι οποίοι είναι τοποθετημένοι  εναλλάξ  έτσι ώστε οι μπάλες να χτυπούν πάνω τους και να πέφτουν ειτε δεξιά είτε αριστερά. Αφού περάσουν από τους πείρους, οι μπάλες πέφτουν σε ένα σύστημα από αγωγούς και παρατηρείται ότι η τοποθέτηση τους  σχηματίζει την καμπύλη του Gauss. (εικόνα) .