Σαν σήμερα, το 1905, γεννήθηκε ο Ολλανδός μαθηματικός Hans Freudenthal
Ο Hans Freudenthal (1905–1990) υπήρξε ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα, με πολυσχιδή προσφορά στην τοπολογία, στην ιστορία και φιλοσοφία των μαθηματικών, αλλά και στη μαθηματική εκπαίδευση.
Γεννήθηκε στις 17 Σεπτεμβρίου 1905 στο Λούκενβαλντε της Γερμανίας, σε εβραϊκή οικογένεια. Από μικρός έδειξε ενδιαφέρον για τα μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες, αλλά παράλληλα αγαπούσε τη λογοτεχνία και την ποίηση. Το 1923 εγγράφεται στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου για να σπουδάσει μαθηματικά και φυσική. Σημαντικό σταθμό στη ζωή του αποτέλεσε η γνωριμία του με τον Brouwer το 1927, η οποία οδήγησε στη μετακίνησή του στην Ολλανδία, όπου θα χτιζόταν η ακαδημαϊκή του πορεία.
Υπό την επίβλεψη του Hopf εκπόνησε τη διδακτορική του διατριβή με θέμα τη θεωρία των άκρων των ομάδων και το 1931 ανακηρύχθηκε διδάκτορας. Ήδη από το 1930 είχε εγκατασταθεί στο Άμστερνταμ ως βοηθός του Brouwer.
Στο Πανεπιστήμιο του Άμστερνταμ αναδείχθηκε σε λέκτορα και ανέπτυξε σπουδαίο έργο στην τοπολογία και στην ανάλυση. Το 1936 δημοσίευσε εργασία για το θεώρημα φασμάτων στους χώρους του Riesz και το 1937 το θεώρημα της ανάρτησης. Εργάστηκε επίσης πάνω στη χαρακτηριστική άλγεβρα των πραγματικών ημιαπλών ομάδων Lie.
Η γερμανική εισβολή στην Ολλανδία το 1940 ανέκοψε τη σταδιοδρομία του, καθώς, λόγω της εβραϊκής καταγωγής του, αποκλείστηκε από το πανεπιστήμιο. Ο Freudenthal και η οικογένειά του αναγκάστηκαν να κρυφτούν για να αποφύγουν τις μαζικές διώξεις. Παρά τις αντίξοες συνθήκες, δεν εγκατέλειψε τη δημιουργία: το 1944 έγραψε ένα μυθιστόρημα που μάλιστα βραβεύτηκε σε λογοτεχνικό διαγωνισμό, αν και το όνομά του δεν μπορούσε να αποκαλυφθεί και η βράβευση έγινε στο όνομα φίλου του.
Μετά την απελευθέρωση του Άμστερνταμ το 1945, επέστρεψε στα πανεπιστημιακά του καθήκοντα και το 1946 διορίστηκε καθηγητής καθαρών και εφαρμοσμένων μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Ουτρέχτης, όπου παρέμεινε έως τη συνταξιοδότησή του το 1975.
Κατά την ακαδημαϊκή του σταδιοδρομία ασχολήθηκε με την τοπολογία, την άλγεβρα και τις ομάδες Lie, αλλά η συμβολή του επεκτάθηκε και στην ιστορία των μαθηματικών. Έγραψε πλήθος άρθρων σε εγκυκλοπαίδειες και μελέτες για προσωπικότητες όπως ο Hilbert, ο Leibniz, ο Riemann και ο Brouwer. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έδειξε για τη γεωμετρία και τις θεμελιώσεις της, ενώ η κριτική του στο έργο του Hilbert για τα θεμέλια της γεωμετρίας παραμένει σημείο αναφοράς.
Στις δεκαετίες 1960–1970 αφιερώθηκε συστηματικά στη μαθηματική εκπαίδευση. Το 1971 ίδρυσε το Ινστιτούτο Ανάπτυξης της Μαθηματικής Εκπαίδευσης στην Ουτρέχτη, το οποίο από το 1991 φέρει το όνομά του (Ινστιτούτο Freudenthal). Υπήρξε ένθερμος υποστηρικτής της προσβασιμότητας των μαθηματικών σε όλους, αντιτασσόμενος στις άκαμπτες μορφές «νέων μαθηματικών».
Εργάστηκε για την κατανόηση της σχέσης της αξιωματικής μαθηματικής σκέψης με την πραγματικότητα και συνδύασε τη μαθηματική λογική με την παιδαγωγική. Η συνεισφορά του στην εκπαιδευτική έρευνα είχε διεθνή εμβέλεια.
Το «Πρόβλημα του Αθροίσματος και του Γινομένου»
Εκτός από τη σπουδαία του συμβολή στην τοπολογία, στη μαθηματική εκπαίδευση και στην ιστορία των μαθηματικών, ο Hans Freudenthal έχει συνδεθεί και με ένα από τα πιο γνωστά λογικά προβλήματα του 20ού αιώνα: το λεγόμενο «Πρόβλημα του Αθροίσματος και του Γινομένου» (Sum and Product Puzzle).
Δίνεται ότι δύο ακέραιοι αριθμοί x και y ικανοποιούν 1<x<y, και x+y≤100. Ο ένας συνομιλητής, ο S, γνωρίζει μόνο το άθροισμα x+y, ενώ ο άλλος, ο P, γνωρίζει μόνο το γινόμενο x⋅y. Και οι δύο γνωρίζουν τις παραπάνω συνθήκες. Ακολουθεί ο εξής διάλογος:
• P: Δεν γνωρίζω ποιους αριθμούς έχεις.
• S: Το ήξερα ότι δεν γνώριζες τους αριθμούς.
• P: Τώρα ξέρω τους αριθμούς.
• S: Τώρα τους ξέρω κι εγώ.
Το πρόβλημα καλεί τον λύτη να ανακαλύψει ποιο είναι το ζεύγος (x,y) που ικανοποιεί αυτές τις λογικές συνθήκες.
Η πρώτη δημοσιευμένη εκδοχή του προβλήματος αποδίδεται στον Hans Freudenthal, το 1969, στο ολλανδικό περιοδικό Nieuw Archief voor Wiskunde («Νέο Αρχείο Μαθηματικών»). Αν και δεν είναι απολύτως σαφές αν το πρόβλημα ήταν καθαρά δική του επινόηση ή αν το μετέφερε από προϋπάρχουσα πηγή, η ακαδημαϊκή κοινότητα το συνδέει με το «γόνιμο πνεύμα» του Freudenthal.
Στη δεκαετία του 1970 το πρόβλημα ταξίδεψε από την Ολλανδία στις Ηνωμένες Πολιτείες, πιθανότατα μέσω ακαδημαϊκών επαφών μεταξύ Ευρωπαίων και Αμερικανών επιστημόνων. Έγινε ιδιαίτερα γνωστό όταν ο John McCarthy, από τους πρωτοπόρους της Τεχνητής Νοημοσύνης, το εισήγαγε στη σχετική βιβλιογραφία μέσω της εργασίας του Formalization of Two Puzzles Involving Knowledge (1978–1981, δημοσιευμένη το 1990).
Το «Πρόβλημα του Αθροίσματος και του Γινομένου» αποτέλεσε αντικείμενο μελέτης για μαθηματικούς, λογικούς και επιστήμονες της πληροφορικής. Η απλή του διατύπωση κρύβει βαθιές ιδέες γύρω από τη λογική της γνώσης (epistemic logic), τη μετάβαση από την άγνοια στη γνώση μέσα από διάλογο, αλλά και την τυποποίηση της πληροφορίας.
Μελετήθηκε εκτενώς από μαθηματικούς και ερευνητές όπως οι Lee Sallows, Giovanni Panti, Martin Gardner, Jan Plaza, καθώς και από πολλούς άλλους που το χρησιμοποίησαν ως βάση για να αναπτύξουν θεωρίες γύρω από τη λογική της πληροφορίας και τις μεθόδους ελέγχου μοντέλων γνώσης (model checking).
Η σχέση του Hans Freudenthal με το πρόβλημα αυτό δείχνει όχι μόνο το ενδιαφέρον του για τα θεμέλια και τη διδασκαλία των μαθηματικών, αλλά και τη δημιουργικότητα με την οποία αντιμετώπιζε τους γρίφους και την επικοινωνία της γνώσης. Το «Πρόβλημα του Αθροίσματος και του Γινομένου» παραμένει μέχρι σήμερα ένα κλασικό παράδειγμα της αλληλεπίδρασης ανάμεσα στη μαθηματική λογική, τη φιλοσοφία της γνώσης και την παιδαγωγική διάσταση των μαθηματικών.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου