Φανταστείτε ότι κρατάτε στα χέρια σας δύο ολόιδια ζάρια. Θα μπορούσατε ποτέ να σκάψετε μια σήραγγα μέσα στο ένα ζάρι, τόσο μεγάλη, ώστε να χωρέσει να περάσει το άλλο ζάρι από μέσα του;
Αν η πρώτη σας σκέψη είναι «Αποκλείεται!», δεν είστε οι μόνοι. Όμως, στα τέλη του 1600, κάποιος (του οποίου το όνομα χάθηκε στην ιστορία) έβαλε ακριβώς αυτό το στοίχημα με τον Πρίγκιπα Ρούπερτ του Ρήνου. Ο Ρούπερτ – ανιψιός του Βασιλιά Καρόλου Α' της Αγγλίας και πρώην διοικητής στον Αγγλικό Εμφύλιο – είχε αποσυρθεί στο Κάστρο του Ουίνδσορ, περνώντας τον χρόνο του παίζοντας με μέταλλα και γυαλί στο εργαστήριό του.
Και, ω του θαύματος, ο Ρούπερτ κέρδισε το στοίχημα! Ο μαθηματικός John Wallis κατέγραψε το γεγονός το 1693. Αν και δεν είναι σαφές αν ο πρίγκιπας έπιασε τα εργαλεία και τρύπησε έναν πραγματικό κύβο, ο Wallis απέδειξε μαθηματικά ότι το παράδοξο ισχύει: αν ανοίξετε μια ευθεία σήραγγα κατά μήκος μιας από τις εσωτερικές διαγωνίους του κύβου, δημιουργείται αρκετός χώρος για να περάσει ένας δεύτερος. Είναι κυριολεκτικά οριακό. Αν ο δεύτερος κύβος ήταν μόλις 4% μεγαλύτερος, θα «σφήνωνε» για τα καλά.
Φυσικά, το ερώτημα που προέκυψε ήταν αναπόφευκτο: Ποια άλλα σχήματα μπορούν να κάνουν αυτό το μαγικό τρικ; «Θεωρώ ότι αυτό το πρόβλημα είναι αρκετά θεμελιώδες», σημειώνει ο Tom Murphy, μηχανικός λογισμικού που έχει εντρυφήσει στο ζήτημα. «Ακόμα και εξωγήινοι θα είχαν καταλήξει σε αυτό».
Επειδή το βασίλειο των γεωμετρικών σχημάτων είναι χαοτικό, οι μαθηματικοί εστίασαν στα κυρτά πολύεδρα (σχήματα με επίπεδες έδρες, χωρίς καθόλου εσοχές ή «βαθουλώματα»). Για εκατοντάδες χρόνια, ο κύβος μονοπωλούσε αυτής της ικανότητας, μέχρι που το 1968, ο Christoph Scriba απέδειξε ότι το τετράεδρο και το οκτάεδρο διαθέτουν επίσης την «Ιδιότητα του Ρούπερτ».
Την τελευταία δεκαετία, χάρη στην υπολογιστική ισχύ, αλγόριθμοι ανακάλυψαν «περάσματα Ρούπερτ» σε πολλά διάσημα κυρτά πολύεδρα, όπως το δωδεκάεδρο και το κολοβό εικοσάεδρο (το κλασικό σχήμα της μπάλας ποδοσφαίρου). Η ιδιότητα φαινόταν τόσο καθολική που γεννήθηκε μια τολμηρή εικασία: Κάθε κυρτό πολύεδρο έχει την Ιδιότητα του Ρούπερτ. Κανείς δεν μπορούσε να βρει μια εξαίρεση. Μέχρι σήμερα.
Για να κατανοήσουμε πώς ένα σχήμα «καταπίνει» τον εαυτό του, πρέπει να παίξουμε με τις σκιές (ή, αυστηρότερα, με τις ορθές προβολές). Αν κρατήσετε έναν κύβο ευθεία πάνω από ένα τραπέζι φωτισμένο από πάνω, η σκιά του είναι ένα τετράγωνο. Αν, όμως, τον γείρετε ώστε μια κορυφή να κοιτάει ακριβώς προς τη λάμπα, η σκιά μεταμορφώνεται σε ένα κανονικό εξάγωνο!
Ο Wallis έδειξε ότι το τετράγωνο (η σκιά του διερχόμενου κύβου) χωράει οριακά μέσα στο εξάγωνο (τη σκιά-σήραγγα του σταθερού κύβου). Έναν αιώνα αργότερα, ο Pieter Nieuwland βρήκε μια ακόμα πιο έξυπνη γωνία, δημιουργώντας μια σκιά που χωράει έναν κύβο πάνω από 6% μεγαλύτερο.
.png)
Οι σημερινοί αλγόριθμοι κάνουν ακριβώς αυτό: περιστρέφουν ψηφιακά τα σχήματα, αναζητώντας τον κατάλληλο προσανατολισμό. Κάποια περάσματα είναι απίστευτα στενά. Στο τριάκις τετράεδρο(Διαθέτει 12 έδρες σχήματος ισοσκελούς τριγώνου), το περιθώριο είναι μόλις 0,000002 φορές την ακτίνα του σχήματος!
Όταν η Γεωμετρία Αντιστέκεται
Καθώς οι υπολογιστές έψαχναν εκατομμύρια σχήματα (από τυχαία πολύεδρα μέχρι σφαίρες με παραμορφωμένες κορυφές), παρατηρήθηκε μια περίεργη συμπεριφορά: Είτε το πέρασμα βρισκόταν αμέσως, είτε δεν βρισκόταν ποτέ.
Το ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο –ένα συμμετρικό μεγαθήριο 62 εδρών– αρνούνταν πεισματικά να συνεργαστεί. «Άφησα τον υπολογιστή μου να δουλεύει ασταμάτητα για δύο εβδομάδες», λέει ο εφαρμοσμένος μαθηματικός Benjamin Grimmer. «Φαίνεται απλώς να αντιστέκεται σε κάθε προσπάθεια». Όμως, το ότι ένας υπολογιστής δεν μπορεί να βρει το πέρασμα σε πεπερασμένο χρόνο, δεν αποτελεί απόδειξη ότι αυτό δεν υπάρχει στον άπειρο χώρο των πιθανών περιστροφών.
Ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο
Εδώ μπαίνουν στο παιχνίδι οι Jakob Steininger (30 ετών) και Sergey Yurkevich (29 ετών), δύο φίλοι από τα χρόνια της Μαθηματικής Ολυμπιάδας. Αποφάσισαν να αποδείξουν ότι τα «Νόπερτ» (Nopert = Rupert + nope, δηλαδή σχήματα χωρίς την ιδιότητα του Ρούπερτ) υπάρχουν πραγματικά.
Για να αποδείξεις ότι ένα σχήμα είναι Nopert, πρέπει να εξετάσεις κάθε πιθανή γωνία και να αποδείξεις ότι καμία δεν λειτουργεί. Στον «παραμετρικό χώρο» (έναν μαθηματικό χώρο υψηλών διαστάσεων που καταγράφει όλες τις πιθανές περιστροφές), η στρατηγική τους βασίστηκε σε δύο μαθηματικά υπερόπλα:
Το Καθολικό Θεώρημα: Αν, σε μια συγκεκριμένη γωνία, η σκιά του δεύτερου σχήματος προεξέχει σημαντικά από την πρώτη, μπορούμε να απορρίψουμε ένα ολόκληρο «πακέτο» (block) γειτονικών προσανατολισμών. Δεν απορρίπτουμε απλώς ένα σημείο, αλλά μια ολόκληρη γειτονιά πιθανοτήτων.
Το Τοπικό Θεώρημα: Τι γίνεται όμως όταν οι σκιές σχεδόν ταυτίζονται και η προεξοχή είναι απειροελάχιστη; Το θεώρημα αυτό ορίζει ότι, αν το περίγραμμα της αρχικής σκιάς διαθέτει τρεις συγκεκριμένες κορυφές (οι οποίες περικλείουν το κέντρο), τότε οποιαδήποτε μικρο-περιστροφή απλώς θα ωθήσει αναπόφευκτα τουλάχιστον μία κορυφή πιο έξω, καταστρέφοντας το πέρασμα.
Και το Όνομα Αυτού... Νοπερθέδρο!
Αφού τα υπάρχοντα πολύεδρα δεν ταίριαζαν απόλυτα στις απαιτήσεις των θεωρημάτων τους, οι δύο μαθηματικοί αποφάσισαν να «χτίσουν» το δικό τους σχήμα.
Τον Αύγουστο, αποκάλυψαν το Νοπερθέδρο (Noperthedron)! Αποτελείται από 90 κορυφές και 152 έδρες (150 τρίγωνα και δύο κανονικά 15-πλευρα πολύγωνα). Μοιάζει με ένα στρογγυλεμένο ψηφιακό βάζο με φαρδιά βάση και κορυφή .
«Η φυσική εικασία αποδείχθηκε ψευδής», επιβεβαιώνει ο Joseph O’Rourke.
Η ανακάλυψη αυτή αλλάζει τους κανόνες του παιχνιδιού. Υπάρχουν άραγε άπειρα Noperts εκεί έξω; Μπορούμε να βρούμε ένα νέο θεώρημα για να «πιάσουμε» υποψήφια σχήματα όπως το πεισματάρικο ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο;
Όπως λέει ο Murphy, πλέον οι μαθηματικοί πατάνε σε στέρεο έδαφος για να μελετήσουν αυτές τις ιδιότητες. Και κάπου εκεί, ο πρίγκιπας Ρούπερτ του Ρήνου μάλλον χαμογελάει ικανοποιημένος από το κάστρο του, βλέποντας το περίεργο στοίχημά του να ζωντανεύει τη γεωμετρία τρεισήμισι αιώνες μετά.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου