Οι Μαθηματικοί που Ξεσκέπασαν μια Διαθήκη

 

#ΜαθηΜαγικοΗμερολογιο  «Είναι κεφαλαιώδες λάθος να σχηματίζεις θεωρίες προτού να έχεις όλα τα δεδομένα. Επηρεάζει την κρίση σου.»

  Άρθουρ Κόναν Ντόιλ, «Σπουδή στο Κόκκινο»

Στα τέλη του 19ου αιώνα εκτυλίχθηκε μία από τις πιο παράξενες δικαστικές υποθέσεις πλαστογραφίας στην αμερικανική ιστορία. Δεν ήταν οι γραφολόγοι που έκριναν την αυθεντικότητα του επίμαχου εγγράφου, αλλά δύο μαθηματικοί: ένας πατέρας και ο γιος του. Η ετυμηγορία στηρίχθηκε σχεδόν αποκλειστικά στη θεωρία πιθανοτήτων.

Ο πατέρας ήταν ο Μπέντζαμιν Πιρς, ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς της εποχής του και διακεκριμένος καθηγητής του Χάρβαρντ. Ο γιος του, Τσαρλς Σάντερς Πιρς, υπήρξε επίσης εξέχων μαθηματικός, λογικός και φιλόσοφος. Οι δύο άνδρες κλήθηκαν ως πραγματογνώμονες σε μια υπόθεση που αφορούσε τη διαθήκη της Σίλβια Ανν Χάουλαντ.

Η Χάουλαντ ήταν μια εξαιρετικά πλούσια γυναίκα. Η περιουσία της ανερχόταν σε περίπου δύο εκατομμύρια δολάρια — ένα αστρονομικό ποσό για τα δεδομένα της εποχής. Μετά τον θάνατό της, η ανιψιά της, Χέτι Χάουλαντ Ρόμπινσον, αμφισβήτησε τη διαθήκη που της άφηνε μόνο μέρος της περιουσίας. Υποστήριξε ότι η θεία της είχε συμφωνήσει προφορικά να της κληροδοτήσει ολόκληρη την περιουσία και, για να ενισχύσει τον ισχυρισμό της, παρουσίασε μια παλαιότερη διαθήκη.

Το έγγραφο αυτό φαινόταν να την καθιστά μοναδική κληρονόμο. Επιπλέον, περιείχε μια δεύτερη σελίδα όπου αναφερόταν ότι κάθε μεταγενέστερη διαθήκη θα έπρεπε να θεωρείται άκυρη. Ο εκτελεστής της διαθήκης, Τόμας Μάντελ, αντέτεινε ότι η δεύτερη σελίδα ήταν πλαστή και ότι η περιουσία έπρεπε να διανεμηθεί σύμφωνα με νεότερη διαθήκη.

Το πρόβλημα ήταν ότι η πλαστογραφία, αν πράγματι υπήρχε, ήταν εξαιρετικά επιμελημένη. Οι ειδικοί της εποχής αδυνατούσαν να αποφανθούν με βεβαιότητα. Τότε ανέλαβαν δράση οι Πιρς.

Οι δύο μαθηματικοί εξέτασαν προσεκτικά τις υπογραφές που βρίσκονταν στην πρώτη και στη δεύτερη σελίδα. Παρατήρησαν κάτι παράδοξο: οι δύο υπογραφές ήταν απολύτως ίδιες. Όχι απλώς παρόμοιες, αλλά πανομοιότυπες.

Αυτό τους κίνησε αμέσως υποψίες. Στην πραγματικότητα, ακόμη και όταν το ίδιο άτομο υπογράφει δύο φορές διαδοχικά, οι υπογραφές του παρουσιάζουν μικρές, σχεδόν ανεπαίσθητες διαφοροποιήσεις. Πόσο πιθανό ήταν λοιπόν δύο ανεξάρτητες υπογραφές να ταυτίζονται απόλυτα;

Για να απαντήσουν στο ερώτημα, αποφάσισαν να ποσοτικοποιήσουν τη σύγκριση. Χώρισαν κάθε υπογραφή σε τριάντα επιμέρους κινήσεις του στυλογράφου με κατεύθυνση από πάνω προς τα κάτω και συνέκριναν τις αντίστοιχες κινήσεις στις δύο υπογραφές. Το αποτέλεσμα ήταν εντυπωσιακό: και οι τριάντα συνέπιπταν ακριβώς.

Αλλά πόσο σπάνιο ήταν αυτό;

Οι Πιρς συγκέντρωσαν σαράντα δύο αυθεντικές υπογραφές της Χάουλαντ από παλαιότερα έγγραφα. Από αυτές προέκυψαν 861 διαφορετικά ζεύγη υπογραφών:

(42 × 41) / 2 = 861

Σε κάθε ζεύγος μέτρησαν πόσες από τις τριάντα κινήσεις συνέπιπταν. Συνολικά κατέγραψαν 5.325 συμπτώσεις σε 25.830 συγκρίσεις (861 × 30). Με άλλα λόγια, μια μεμονωμένη κίνηση ταυτιζόταν περίπου στο 20,6% των περιπτώσεων.

Έτσι εκτίμησαν ότι η πιθανότητα δύο αυθεντικών υπογραφών να συμπίπτουν σε μία συγκεκριμένη κίνηση ήταν:

5.325 / 25.830 = 0,206

Υποθέτοντας ότι οι συμπτώσεις ήταν ανεξάρτητες μεταξύ τους, εφάρμοσαν την πολλαπλασιαστική αρχή των πιθανοτήτων:

0,206³⁰

Το αποτέλεσμα ήταν συγκλονιστικό: περίπου μία πιθανότητα στις 375 τρισεκατομμύρια.

Με άλλα λόγια, η πιθανότητα να είχαν γραφτεί ανεξάρτητα δύο απολύτως ίδιες υπογραφές ήταν τόσο μικρή ώστε πρακτικά μπορούσε να θεωρηθεί μηδενική.

Κατά την κατάθεσή του ενώπιον των ενόρκων, ο Μπέντζαμιν Πιρς δήλωσε ότι ένα τέτοιο ενδεχόμενο ήταν ουσιαστικά αδύνατο. Το κύρος του, σε συνδυασμό με τη μαθηματική ανάλυση, έπεισε το δικαστήριο. Η Χέτι Ρόμπινσον κρίθηκε ένοχη για πλαστογραφία και η δεύτερη σελίδα της διαθήκης απορρίφθηκε ως κατασκευασμένη.

Σήμερα ένας στατιστικολόγος θα επισήμαινε ότι η υπόθεση της ανεξαρτησίας των τριάντα συγκρίσεων δεν είναι απολύτως δικαιολογημένη. Ωστόσο, η ουσία του επιχειρήματος παραμένει ισχυρή. Οι Πιρς δεν απέδειξαν απλώς ότι οι υπογραφές έμοιαζαν υπερβολικά πολύ· έδειξαν ότι η ομοιότητα ήταν τόσο ακραία, ώστε η πιο λογική εξήγηση ήταν πως η μία υπογραφή είχε αντιγραφεί από την άλλη.

Η υπόθεση αυτή αποτελεί μία από τις πρώτες και πιο εντυπωσιακές εφαρμογές της θεωρίας πιθανοτήτων σε δικαστική αίθουσα. Και ίσως επιβεβαιώνει με τον καλύτερο τρόπο τα λόγια του Σέρλοκ Χολμς: πριν διαμορφώσουμε θεωρίες, οφείλουμε να εξετάσουμε προσεκτικά όλα τα δεδομένα.