Η πρώτη εμφάνιση του συμβόλου ℵ₀ (Άλεφ-μηδέν) στα μαθηματικά

 Σαν σήμερα, το 1895, ο Γκέοργκ Καντόρ (Georg Cantor) χρησιμοποίησε για πρώτη φορά το σύμβολο ℵ₀ (Άλεφ-μηδέν) σε επιστολή του προς τον μαθηματικό Φέλιξ Κλάιν (Felix Klein).

Μέχρι εκείνη τη στιγμή ο Καντόρ χρησιμοποιούσε το σύμβολο ℵ₁ (Άλεφ-ένα) για να συμβολίσει τον πρώτο άπειρο πληθάριθμο. Ωστόσο, λίγο πριν από τη δημοσίευση του πρώτου μέρους του σημαντικού έργου του «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre» («Συμβολές στη θεμελίωση της διαπεπερασμένης θεωρίας συνόλων»), αποφάσισε να αλλάξει τη σημειογραφία του.

Η πληροφορία αυτή προέρχεται από το βιβλίο του I. Grattan-Guinness, From the Calculus to Set Theory, 1630–1910: An Introductory History.

 Τι είναι το ℵ₀ (Άλεφ-μηδέν);

Το σύμβολο ℵ (εβραϊκό γράμμα άλεφ) εισήχθη από τον Κάντορ για να συμβολίζει τους διαπεπερασμένους πληθαρίθμους, δηλαδή τα μεγέθη των άπειρων συνόλων.

Το ℵ₀ (Άλεφ-μηδέν) είναι ο μικρότερος άπειρος πληθάριθμος. Εκφράζει το πλήθος των στοιχείων κάθε αριθμήσιμου άπειρου συνόλου, δηλαδή ενός άπειρου συνόλου του οποίου τα στοιχεία μπορούν να απαριθμηθούν ένα προς ένα.

Παραδείγματα συνόλων με πληθάριθμο ℵ₀ είναι:

   το σύνολο των φυσικών αριθμών {1, 2, 3, …},

   το σύνολο των ακεραίων αριθμών,

   το σύνολο των ρητών αριθμών.

Αν και τα σύνολα αυτά είναι άπειρα, έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων, δηλαδή τον ίδιο πληθάριθμο, τον ℵ₀.

Στη σελίδα 492 του περιοδικού Mathematische Annalen εμφανίζεται η φράση:

                      Die kleinste transfinite Cardinalzahl Alef-null.

Η κυριολεκτική μετάφρασή της είναι:

                 Ο μικρότερος διαπεπερασμένος πληθάριθμος είναι ο Άλεφ-μηδέν (ℵ₀).

Λίγο παρακάτω ο Κάντορ γράφει:

            …wir nennen die ihr zukommende Cardinalzahl, in Zeichen, Alef-null…

που αποδίδεται στα ελληνικά ως:

…τον πληθάριθμο που αντιστοιχεί στο σύνολο αυτό τον ονομάζουμε, συμβολικά, Άλεφ-μηδέν (ℵ₀).

Με τη φράση αυτή ο Καντόρ εισάγει επίσημα το σύμβολο ℵ₀, το οποίο από τότε καθιερώθηκε στη θεωρία συνόλων και παραμένει μέχρι σήμερα το καθολικά αποδεκτό σύμβολο για τον μικρότερο άπειρο πληθάριθμο.

Η επιλογή του συμβόλου  

  Η επιστολή αυτή αποκαλύπτει τη συλλογιστική πορεία του Καντόρ. Πριν καταλήξει στο aleph, πειραματιζόταν με διάφορα άλλα σύμβολα για τους διαπεπερασμένους αριθμούς, όπως το σύμβολο του απείρου  (με δείκτες) ή το λατινικό γράμμα O .Όταν ο Κάντορ ανακοίνωσε στον Κλάιν τη μετάβαση στο εβραϊκό αλφάβητο, η αιτιολόγηση ήταν ταυτόχρονα πρακτική και συμβολική.

 Τα Λατινικά και τα Ελληνικά γράμματα ήταν ήδη υπερκορεσμένα στα μαθηματικά της εποχής, καθώς χρησιμοποιούνταν παντού για μεταβλητές, σταθερές και συναρτήσεις. Ο Κάντορ ήθελε να διασφαλίσει ότι ο νέος του πληθάριθμος δεν θα μπερδευόταν με καμία άλλη έννοια.Μια «Νέα Αρχή»: Εισάγοντας τους υπερπεπερασμένους αριθμούς, ο Καντόρ γνώριζε ότι δημιουργούσε μια ριζοσπαστική νέα θεωρία (τη θεωρία συνόλων). Το Άλεφ, όντας το πρώτο γράμμα του εβραϊκού αλφαβήτου, αποτελούσε το τέλειο φιλοσοφικό σύμβολο για να σηματοδοτήσει αυτή την εντελώς νέα αρχή στην ανθρώπινη σκέψη γύρω από το άπειρο.

Ο Κλάιν, ως αρχισυντάκτης του κορυφαίου περιοδικού Mathematische Annalen, αποδέχτηκε τη νέα σημειογραφία. Λίγους μήνες αργότερα, το ιστορικό άρθρο τυπώθηκε, καθιερώνοντας το ℵ₀ για πάντα στα μαθηματικά.

Δείτε και το σύνδεσμο :  https://mathhmagic.blogspot.com/2018/01/6-1918-gcantor.html