Από τον Ευκλείδη στη…Βρετανική Σημαία

Υπάρχουν μαθηματικές ιδέες που ταξιδεύουν στους αιώνες και, κάποτε, αποκτούν ένα όνομα που κανείς από τους δημιουργούς της αρχαίας γεωμετρίας δεν θα μπορούσε να φανταστεί.

Μια τέτοια περίπτωση είναι το  ονομαζόμενο Θεώρημα της Βρετανικής Σημαίας.

Αν $P$ είναι οποιοδήποτε σημείο μέσα —ή ακόμη και έξω— από ένα ορθογώνιο $ABCD$, τότε ισχύει:

                                            PA² + PC² = PB² + PD²

Δηλαδή, το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων του $P$ από δύο απέναντι κορυφές είναι ίσο με το αντίστοιχο άθροισμα για τις άλλες δύο.

Το θεώρημα δεν εμφανίζεται με αυτή τη μορφή ως πρόταση στα αρχαία «Στοιχεία» του Ευκλείδη. Η ιδέα του, όμως, είναι βαθιά ευκλείδεια: προκύπτει από αποτελέσματα της κλασικής γεωμετρίας και συνδέεται άμεσα με το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Μία από τις παλαιότερες τεκμηριωμένες εμφανίσεις του βρίσκεται το 1828, στην έκδοση του The First Six Books of the Elements of Euclid του Βρετανού επιστήμονα Dionysius Lardner. Εκεί καταγράφεται ως η πρόταση 306, ανάμεσα σε αποτελέσματα που μπορούν να συναχθούν από το δεύτερο βιβλίο των Στοιχείων. (Open Library)

Και γιατί «Βρετανική Σημαία»;

Αν ενώσουμε το σημείο $P$ με τις τέσσερις κορυφές του ορθογωνίου και συμπληρώσουμε τις βοηθητικές γραμμές μιας κλασικής απόδειξης, το σχήμα θυμίζει τον Union Flag, τη βρετανική σημαία. Από αυτή την οπτική ομοιότητα προέκυψε το σημερινό όνομα. (Βικιπαίδεια)

Ένα όμορφο παράδειγμα του πώς μια γεωμετρική ιδέα με ρίζες στην αρχαιότητα μπορεί να αποκτήσει, πολλούς αιώνες αργότερα, ένα εντελώς σύγχρονο και απροσδόκητο όνομα.

Η γεωμετρία αλλάζει εποχές· οι σχέσεις της, όμως, παραμένουν ίδιες.