Η εικασία του Γκόλντμπαχ,ένα θρυλικό πρόβλημα

 "Ένα πρόβλημα που αξίζει να του επιτεθείς.Αποδεικνύει την αξία του όταν αντεπιτεθεί."
                                                                                                                       Piet Hein

                         

   Ο Βρετανός μαθηματικός Γ.Κ Χάρντυ συνήθιζε να λέει:"οποιοσδήποτε μπορεί να κάνει ερωτήσεις σχετικές με τους πρώτους αριθμούς  που και ο πιο σοφός άνθρωπος αδυνατεί να απαντήσει.." Ο Γερμανός μαθηματικός Κριστιάν Γκόλντμπαχ(1690-1764) δεν ήταν οποιοσδήποτε, όμως έθεσε ένα τέτοιο ερώτημα και κέρδισε την αθανασία.Εξηγούμαι,το 1742 συνέταξε ένα γράμμα που απευθυνόταν στον Ελβετό μαθηματικό  Όιλερ.Ο Γκόλντμπαχ ζούσε όπως ο Όιλερ  στην Ρωσία  και αλληλογραφούσε συχνά –πυκνά με το μεγάλο μαθηματικό. Στο γράμμα του παρέθετε την πεποίθηση του ότι :

"Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος από 2 μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα τριών πρώτων αριθμών".

 Θεωρούσε ότι ο αριθμός 1 είναι πρώτος,μια υπόθεση που εγκατέλειψε αργότερα. 
Μια σύγχρονη διατύπωση  της αρχικής εικασίας του Γκολντμπαχ είναι η εξής :

"Κάθε ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από το 5 μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα τριών πρώτων".

 Ο Όιλερ ενδιαφέρθηκε για το πρόβλημα και του απάντησε με την παρατήρηση ότι η εικασία προκύπτει από την επομένη πρόταση:

"Κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δυο πρώτων ακεραίων".

Η επιστολή του Γκολντμπαχ στον Όιλερ με ημερομηνία  7 Ιουνιου  1742

                               

   Η εικασία του Γκόλντμπαχ είχε όλα τα φόντα να μείνει στην ιστορία: εμπλέκει τους πρώτους αριθμούς, η διατύπωση  είναι κατανοητή από τον καθένα και έχουν ασχοληθεί με αυτή εκατοντάδες αν όχι χιλιάδες μαθηματικοί χωρίς μέχρι τώρα να έχει βρεθεί απόδειξη. Έχουν γραφεί μέχρι και μυθιστορήματα ευρείας κυκλοφορίας όπως ο Θειος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ του Αποστόλου Δοξιάδη. Τον ισχυρισμό μπορεί να διαπιστώσει ο καθένας μεταβαίνοντας στο διαδίκτυο στον ιστότοπο της  wims - έναν ιστότοπο για την επαλήθευση της εικασίας σε δεδομένο ακέραιο-να επιλέξει ένα αριθμό π.χ τον 200 και να τον αναλύσει  με όλους τους δυνατούς τρόπους σε αθροίσματα  δυο πρώτων αριθμών.

                               200=3+197

                               200=7+193

                               200=19+181

                               200=37+163

                               200=43+157

                               200=61+139

                               200=73+127

                               200=97+103

  Αυτά τα  ζεύγη μας δείχνουν όχι μόνο ότι κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δυο πρώτων αριθμών,αλλά ότι αυτό μπορεί να γίνει με πολλούς δυνατούς τρόπους.Όταν εκδόθηκε το μυθιστόρημα του Δοξιάδη ο εκδοτικός οίκος Faber and Faber  πρόσφερε στα πλαίσια της καμπάνιας προώθησης του βιβλίου ένα εκατομμύριο δολάρια σε όποιον κατάφερνε  αποδείξει-ή να διαψεύσει- την εικασία,αλλά,από ότι φαίνεται, έπαιζε με σημαδεμένα χαρτιά αφού ούτε αυτό το κίνητρο άλλαξε την κατάσταση.

  Η εικασία έχει επαληθευτεί για όλους τους αριθμούς μέχρι το 4x10¹⁸, χωρίς καμιά εξαίρεση. Ειδικότερα,βρίσκουμε στον ιστότοπο του mathworld.wolfram.com  τον ακόλουθο πίνακα που  συνοψίζει μέχρι ποιον αριθμό n έχει επαληθευτεί η εικασία και ποια πρόσωπα  έκαναν την επαλήθευση:

                                      

   Η λεγόμενη "ασθενής" εικασία του Γκόλντμπαχ ισχυρίζεται,ότι όλοι οι περιττοί ακέραιοι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 7 μπορούν να γράφουν ως άθροισμα τριών περιττών πρώτων.Σε περίπτωση  που αποδεικνυόταν  η "ισχυρή" εικασία , θα αποδεικνυόταν  αυτόματα και η "ασθενής",η οποία προκύπτει ως άμεση συνέπεια  της πρώτης.Η γενικευμένη υπόθεση του Riemann (ένα από τα επτά άλυτα προβλήματα του ινστιτούτου Clay) περιλαμβάνει και την ασθενή εικασία του Γκόλντμπαχ .Αν κάποιος αποδείκνυε την ασθενή εικασία,δεν θα αποδείκνυε αναγκαστικά και την ισχυρή αλλά έχοντας αποδείξει ότι αθροίζοντας  4 πρώτους μπορούμε να πάρουμε οποιονδήποτε άρτιο  ακέραιο ,τα πράγματα γίνονται ευκολότερα. Από το 4 στο 2 η απόσταση  είναι μικρή, ίσως μερικοί μήνες,μερικά χρόνια  ίσως αιώνες. Αυτή ακριβώς η "ασθενικότητα" της είναι που την έχει κάνει στόχο  των περισσότερων και σοβαρότερων "επιθέσεων" προς απόδειξη από πλειάδα μαθηματικών.

Ο Ivan Vinogradov (1891-1983) απέδειξε το 1937 ότι: κάθε περιττός ακέραιος αρκετά μεγάλος –δηλαδή για αριθμούς άνω ενός ορίου ν – ισούται με το άθροισμα τριών πρώτων.

 

Ivan Matveevich Vinogradov(1891-1983)

Μια από τις πρώτες προσεγγίσεις  του ν ήταν η τιμή 3^{3^15}=3^14348907 περίπου 10^6846168.

Το 1989, η προσέγγιση βελτιώθηκε  σε e^{e^11503} περίπου 10⁴³⁰⁰⁰.

  Σε κάθε περίπτωση, είναι αδύνατο να ελεγχθούν όλοι οι περιττοί μέχρι τον αριθμό ν  ακόμα και με τα μέτρα των σύγχρονων υπολογιστών. Ο Κινέζος μαθηματικός  Chen Jing-Run (1933-1996) απέδειξε το 1973 ότι κάθε άρτιος αρκετά μεγάλος ισούται με το άθροισμα ενός πρώτου και ενός ημι-πρώτου (αριθμού που ισούται με το γινόμενο δυο πρώτων), ένα επίσης ενδιαφέρον αποτέλεσμα .Ήδη από το 1931, ο Ρώσος Lev Schnirelmann (1905-1938) είχε αποδείξει,ότι κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 1 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τουλάχιστον C πρώτων , όπου C μια σταθερά. Η αρχική τιμή του C μειωνόταν σταδιακά μέχρι που ο Olivier Ramara την μείωσε το 1995 σε επτά πρώτους.

Chen Jing-Run(1933-1996)

   Το 2012 ,το επιστημονικό περιοδικό Scientific American, σε δημοσίευμά του, ανακοίνωσε ότι ο μαθηματικός από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια, Λος Αντζελες, Terence Tao, βραβευμένος με το Μετάλλιο Fields  απέδειξε ότι μπορεί καθε περιττός ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος του 7 μπορει να γράφει ως άθροισμα το πολύ πέντε πρώτων αριθμών.(http://arxiv.org/abs/1201.6656)

 Το Μάιο του 2013, ο Περουβιανός μαθηματικός Harald Andrés Helfgott βελτίωσε την προσέγγιση του Vinogradov.(http://arxiv.org/abs/1205.5252).  Διαβάστε και το αντίστοιχοo σχόλιο του Tao(https://plus.google.com/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzC)

Ο κομήτης του Γκόλντμπαχ

Αν τοποθετήσουμε στον οριζόντιο άξονα συντεταγμένων τους άρτιους ακεραίους και στον κατακόρυφο άξονα τους δυνατούς τρόπους που μπορεί να γραφεί ο καθένας τους ως άθροισμα δυο πρώτων,προκύπτει η χαρακτηριστική εικόνα ουράς κομήτη, όπως μπορείτε να δείτε στο παρακάτω γράφημα.( http://unprime6.blogspot.gr/2013/02/goldbach-conjecture.html)

                                         

 Το 2006 άρχισαν να μελετώνται οι ιδιότητες της καμπύλης αυτής. Είναι αξιοπρόσεκτο το γεγονός ότι oσο μεγαλύτερος ο αριθμός τόσο μεγαλύτερο το πλήθος των πιθανών ζευγών. Ο κανόνας αυτός ισχύει σε γενικές γραμμές ,αλλά όχι απόλυτα για κάθε μεμονωμένο αριθμό.

                                           

  Πέρα όμως από το εξαίρετο  βιβλίο του Δοξιάδη, η εικασία έχει πολλαπλές αναφορές στην λογοτεχνία, τον κινηματογράφο.Ενδεικτικά:

-Ο Ισαάκ Ασιμοφ στο διήγημα του Εξήντα εκατομμύρια τρισεκατομμύρια συνδυασμοί (Sixty Million Trillion Combinations) περιγράφει την ιστορία ενός μαθηματικoυ που του κλέβουν την εργασία πάνω στην εικασία .

-Στην ισπανική ταινία Το δωμάτιο του Φερμά (La habitación de Fermat) του 2007 ένας νεαρός μαθηματικός ισχυρίζεται ότι απέδειξε την εικασία.

-Στην ταινία του 2011 (The Calculus of Love) ένας καθηγητής μαθηματικών παθιάζεται με την απόδειξη της εικασίας.

                                 

-Στην Κορεατική ταινία Perfect Number βασισμένη στο ομώνυμο βιβλίο του Keigo Higashino (στα ελληνικά έχει μεταφραστεί ως Η αφοσίωση του υπόπτου Χ)  κυριαρχεί το ίδιο θέμα.