Το σημειωματάριο του Αϊνστάιν, μια ερώτηση "παγίδα", ένα γεωμετρικό παράδοξο και ένα πρόβλημα με βαγόνια..

 "Δεν ξέρω πώς με βλέπει ο κόσμος.Εγώ, πάντως, τον βλέπω σαν ένα παιδί που παίζει στην παραλία απασχολημένο με το να βρίσκει, κάθε λίγο και λιγάκι, ένα πιο λείο βότσαλο ή ένα όστρακο, πιο όμορφο από τα συνηθισμένα, ενώ ο μεγάλος ωκεανός της αλήθειας απλώνεται ανεξερεύνητος μπροστά του." 
                                                                                                       Ισαάκ Νεύτων

  O  Άλμπερτ Αϊνστάιν ασχολήθηκε με την θεωρία της σχετικότητας για ένα χρονικό διάστημα οκτώ ετών (1907-1915) προτού την ανακοινώσει.Κατέγραφε τους υπολογισμούς και τις παρατηρήσεις του σε ένα μικρο καφέ σημειωματάριο.Όταν πέθανε το 1955,το σημειωματάριο καταχωρήθηκε από την γραμματέα του Helen Dukas ως"Σημειώσεις διαλέξεων περί σχετικότητας.."("Notes for Lectures on Relativity...") και διατίθεται ψηφιοποιημένο στο διαδίκτυο. Ξεφυλλίζοντας το, διακρίνουμε μια παιγνιώδη πλευρά του κορυφαίου επιστήμονα,μεταξύ άλλων,βρίσκουμε σκίτσα που αφορούν τα ψυχαγωγικά μαθηματικά.Ένα γεωμετρικό παράδοξο και ένα πρόβλημα "κύλισης"(sliding puzzle).
Δείτε την παρακάτω σελίδα.

Ολόκληρο το σημειωματάριο βρίσκεται ψηφιακά αποθηκευμένο ΕΔΩ

 
•Στο μέσο της σελίδας το γραμμοσκιασμενο τετράγωνο  αναδιατάσσεται σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με "διαφορετικό" εμβαδό, ένας γνωστός γεωμετρικός γρίφος από τον William Hooper  από το βιβλίο του Rational Recreations (Ορθολογικοί γρίφοι) (1774) 

   Σε αυτό το γεωμετρικό γρίφο,θεωρούμε ένα τετράγωνο με πλευρά 8 μονάδων(μ),το οποίο χωρίζεται σε δυο τρίγωνα και σε δυο τραπέζια.Από αυτά τα τέσσερα κομμάτια,σχηματίζουμε ένα ορθογώνιο πλάτους 5 μονάδων και μήκους 13 μονάδων.Όμως η επιφάνεια του τετραγώνου(64 μ²) θα ήταν ίση με εκείνη  του ορθογωνίου (65 μ²),κάτι που θα αποδείκνυε ότι το 64 είναι ίσο με το 65.Το ερώτημα είναι,γιατί συμβαίνει αυτό,πως κρύβεται τόσο καλά η «τρύπα» του 1 μ².

                

 

                              

  Στο βίντεο μπορείτε να παρατηρήσετε ότι η συγκόλληση των «τριγώνων» στο δεύτερο σχήμα δεν ήταν και τόσο αθώα, καθώς δεν είναι καν τρίγωνα.

                                                         
                            

   Πράγματι,αν διατάξουμε τις διαστάσεις αυτών των διαφορετικών σχημάτων, καταλήγουμε στους αριθμούς 3,5,8,13.Παρατηρούμε ότι πρόκειται για διαδοχικούς όρους της ακολουθίας Φιμπονάτσι.Ο Σκωτος μαθηματικός Ρ.Σιμπσον απέδειξε την σχέση (Fn)^2=Fn+1*Fn-1+(-1)^n.Δηλαδή,το τετράγωνο ενός οποιουδήποτε όρου της ακολουθίας ισούται με το γινόμενο του προηγούμενου όρου με τον επόμενο του αυξημένο (ή ελαττωμένο) κατά μια  μονάδα.Έτσι δικαιολογείται και το γεγονός ότι αν πάρουμε ένα τετράγωνο με πλευρά ένα οποιοδήποτε όρο από την ακολουθία Φιμπονατσι και ένα ορθογώνιο του οποίου οι πλευρές αντιστοιχούν στον προηγούμενο και στον επόμενο του όρο,θα μπορούσαμε να φτιάξουμε αυτό το παράδοξο παζλ.Τέλος,το παράδοξο θεραπεύεται, αν καταφύγουμε στον χρυσό αριθμό (Φ) που τόσο συχνά σχετίζεται με την ακολουθία Φιμπονατσι. Παίρνουμε λοιπόν ένα τετράγωνο πλευράς Φ.Μετά με τα τέσσερα σχήματα όπως προηγουμένως φτιάχνουμε  ένα ορθογώνιο με πλευρές 1,Φ+1.Τώρα είναι εφικτό.Η επιφάνεια του τετραγώνου (Φ²) ισούται με εκείνη του ορθογωνίου που έχει τιμή 1*(Φ+1).Θυμηθείτε ότι για τον χρυσό αριθμό Φ  ισχύει η σχέση Φ²=Φ+1.

•Tον «έφαγε όλο» στην άνοδο

   Εν έτη 1934,ή 1937 κατά μια άλλη εκδοχή,ο Τσέχος ψυχολόγος Max Wertheimer  έστειλε στον Άινσταιν μια επιστολή –ήταν φίλοι και διατηρούσαν αλληλογραφία-που περιείχε την ακόλουθη σπαζοκεφαλιά.

  Ένα παλιό αυτοκίνητο πρόκειται να διανύσει μια  απόσταση ενός μιλίου,προς την κορυφή  ενός λόφου και να επιστρέψει.Το αυτοκίνητο είναι  παλιό και δεν μπορεί να διανύσει το πρώτο μίλι –την άνοδο –γρηγορότερα από μια μέση ταχύτητα 15  μιλίων την ώρα.

Ερώτηση:Με ποια ταχύτητα πρέπει να καλύψει το δεύτερο μίλι-στην κάθοδο μπορεί να πάει πιο γρήγορα-ώστε να επιτύχει μέση ταχύτητα (για την συνολική απόσταση των δυο μιλίων) 30 μιλίων την ώρα;

  Η αλήθεια είναι ότι το πρόβλημα δεν έχει λύση διότι το αυτοκίνητο με μια ταχύτητα 15 μιλίων την ώρα διανύει 1 μίλι  σε 60/15 =4 λεπτά.Αν καλύπτει την κάθοδο με ταχύτητα x μιλίων την ώρα  και 1 μίλι  σε  60/x λεπτά.Την συνολική απόσταση των δυο μιλίων πρέπει να την διανύσει με ταχύτητα 30 μιλίων την ώρα δηλαδή σε 4 λεπτά, άρα θα πρέπει να ισχύει: 4+60/x=4,αδύνατη.Ο Αϊνστάιν, αρχικά, μπερδεύτηκε και μόνο αφού το κατανόησε, είπε ότι το όχημα δεν έχει χρόνο για την κάθοδο,τον «έφαγε όλο» στην άνοδο.

(Not until calculating did I notice that there is no time left for the way down!)

                              

 •Το σχήμα κάτω αριστερά στην παραπανω σελίδα παριστάνει ένα  πρόβλημα (sliding puzzle) με βαγόνια που δημοσίευσε ο Μάρτιν Γκάρντνερ στην στήλη που διατηρούσε στο Scientific American.Παριστάνει μια ατμομηχανή και δυο βαγόνια.Ο στόχος είναι ο οδηγός της ατμομηχανής να οδηγήσει τα βαγόνια με κατάλληλη ακολουθία κινήσεων πάνω στις ράγες έτσι ώστε να αλλάξουν θέση.

                        

 H πρώτη ανάλυση  του προβλήματος ενδεχομένως ανήκει στον μαθηματικό και ερασιτέχνη μάγο W. W. Rouse Ball  και μπορούμε να τη βρούμε στο βιβλίο του με τίτλο Mathematical Recreations and Essays(σελ 69).Το βιβλίο διατίθεται ελευθέρα στον σύνδεσμο:http://www.gutenberg.org/files/26839/26839-pdf.pdf και περιέχει "διαμαντάκια" .
Η λύση του γρίφου στο σύνδεσμο:
https://app.box.com/s/oyud6jsog60mcrwhuqfa