Ένα μαθημαγικό τρικ με τραπουλόχαρτα, οι στίχοι του Λειβαδίτη και η αρχή του Κρούσκαλ.

Τ.Λειβαδίτης

 

 "Κι αν νικηθήκαμε δεν ήταν απ’ την τύχη ή τις αντιξοότητες, αλλά απ’ αυτό το πάθος για κάτι πιο μακρινό."

                                                                                    Τ. Λειβαδίτης  

                                

   Μάθημα σήμερα,αρκετές ώρες και το κερασάκι,μια ανάρτηση αναλέκτων περί ποίησης ,συνδυαστικής ανάλυσης,ταχυδακτυλουργίας με bonus ένα μικρό προβοκατόρικο αποσπασματάκι από τον Οδυσσέα του Τζόυς για την άλγεβρα. 

   Ποια είναι η σχέση της ποίησης με τα τραπουλόχαρτα και τα μαθηματικά;

   Επιλέξτε αυθαίρετα ένα κείμενο, εγώ για παράδειγμα έχω μια εμμονή με τους στίχους του Τ. Λειβαδίτη,άρα επιλέγω,ένα απόσπασμα από τον τυφλό με τον λύχνο. Όπως θα δείτε παρακάτω, δεν έχει σημασία, ποιο κείμενο θα επιλέξετε αλλά «πόσο» κείμενο θα επιλέξετε.

«Αν έχασα  τη  ζωή μου είναι γιατί πάντα είχα μιαν άλλη ηλικία από την αληθινή  και τώρα

  πια τα ‘χω μπερδέψει, δεν ξέρω αν βρίσκομαι στο τέλος ή στην αρχή, αν πρέπει να φύγω ή

  να ξαναγυρίσω και ποιό δρόμο να πάρω και να πάω που; Εξάλλου, σκοτείνιασε και τα σκυλιά 

  γαβγίζουν, σταματώντας τους περαστικούς στα σύνορα του ανείπωτου.»

Ξαναγράψτε το κείμενο  και κάτω από κάθε λέξη γράψτε  το πλήθος των γραμμάτων της λέξης.

Αν   έχασα   τη  ζωή μου είναι γιατί πάντα είχα μιαν

2        5       2    3      3      5        5       5       4      4     

άλλη ηλικία από την αληθινή  και τώρα

 4        6       3     3        7          3        4  

πια τα ‘χω μπερδέψει, δεν ξέρω αν βρίσκομαι στο

3    2   2          9           3      4     2        9            3     

τέλος ή στην αρχή, αν πρέπει να φύγω ή

5    1   4          4     2   6       2      4   1

να ξαναγυρίσω και ποιό δρόμο να πάρω και να

2         10            3      4         5       2       4     3    2   

πάω που; Εξάλλου,

 3        3          7
σκοτείνιασε και τα σκυλιά γαβγίζουν, σταματώντας

    11         3    2       6            9                     11

τους περαστικούς στα

   4           11            3                      
σύνορα του ανείπωτου.

       6        3            9       

   Επιλέξτε μια οποιαδήποτε λέξη από τις πρώτες 10.Αν  χ1 είναι το πλήθος των γραμμάτων της, κινηθείτε δεξιά μετρώντας τόσες λέξεις όσο και το πλήθος χ1 , φτάνετε σε κάποια λέξη μετρήστε το πλήθος των γραμμάτων της ,έστω χ2  και επαναλάβετε την ίδια διαδικασία μέχρις ότου εξαντληθεί το κείμενο και δεν μπορείτε να προχωρήσετε άλλο. Θα παρατηρήσετε ότι καταληκτική λέξη της διαδικασίας είναι η λέξη «γαβγίζουν». Για παράδειγμα μπορούμε να ξεκινήσουμε από  την λέξη «έχασα »( 5 γράμματα-5 θέσεις δεξιά)-> «είναι»( 8 γράμματα)-> «άλλη» (4 γράμματα) ->  «αληθινή»( 7 γράμματα)-> «δεν» (3 γράμματα)->   «βρίσκομαι» (9 γράμματα)->  «φύγω» (4 γράμματα) ->  «και» (3 γράμματα) -> «να» (2 γράμματα)->  «και» (3 γράμματα)-> «που» (3 γράμματα)->  «και» (3 γράμματα) και καταλήγουμε στην λέξη «γαβγίζουν» που είναι και η καταληκτική.    

    Το παράξενο είναι ότι ανεξάρτητα από την λέξη εκκίνησης πάντα η καταληκτική λέξη είναι η λέξη «γαβγίζουν».Μόνο σε αυτό το κείμενο συμβαίνει;Σε οποιοδήποτε κείμενο όσο μεγαλύτερο είναι το  πλήθος λέξεων σε σχέση   με το πλήθος των γραμμάτων της μεγαλύτερης λέξης τόσο πιο μεγάλη είναι η πιθανότητα να έχουμε την ίδια καταληκτική λέξη. Αν επιλέξουμε τυχαία δυο λέξεις από τις πρώτες 10  σαν αφετηρίες, η πιθανότητα να διασταυρωθούν οι πορείες τους είναι πολύ μεγάλη (αρκεί το πλήθος των  λέξεων του κειμένου να είναι πολύ  μεγαλύτερο από το πλήθος των γραμμάτων της μεγαλύτερης λέξης), από την λέξη που θα διασταυρωθούν και μετά ,η πορεία τους θα είναι ίδια  άρα και η κατάληξη θα είναι η ίδια.Στο παραπάνω κείμενο οι πορείες και των δέκα λέξεων αφετηρίας  διασταυρώνονται ,για αυτό η καταληκτική λέξη είναι πάντα  το " γαβγίζουν ". Το παραπάνω τρικ βασίζεται στον μαθηματικό Μάρτιν Κρουσκαλ και σε μια αρχή που διατύπωσε το 1970 και  φέρει το όνομα του:"Kruskal Count".

Ο Μάρτιν Γκάρντνερ στην στήλη του "Μαθηματικά παιχνίδια" στο περιοδικό Scientific American ,πρωτοπαρουσίασε το παραπάνω τρικ  χρησιμοποιώντας  ένα κείμενο από την παλαιά διαθήκη με  καταληκτική λέξη  "God" (δείτε την παραπάνω εικόνα ή πατήστε  εδώ).

                                        

                                      Martin David Kruskal (1925 –2006)

   Στην ίδια αρχή του Κρούσκαλ, βασίζεται και ένα πολύ δημοφιλές μαγικό τρικ με τραπουλόχαρτα όπου η πιθανότητα ο μάγος να μαντέψει τον αριθμό που κατέληξε το "θύμα" είναι μεγαλύτερη από 84% (δείτε και την απόδειξη) ,με δυο τράπουλες η επιτυχία είναι βέβαιη. Το τρικ έχει έως εξής: Δίνετε μια τράπουλα στο θύμα ,του ζητάτε να την ανακατέψει όσες φορές θέλει. Κατόπιν διατάσετε τα τραπουλόχαρτα σε ένα τραπέζι με την σειρά που ανακάτεψε σε γραμμές των έξι φύλλων,λέτε στο υποψήφιο θύμα να επιλέξει ένα από τα πρώτα δέκα τραπουλόχαρτα, το ίδιο κάνετε και εσείς προφανώς και δεν έχει μεγάλη σημασία ποιο.Του λέτε να κινείται κατά μήκος της τράπουλας προς τα δεξιά ανά γραμμές τόσες θέσεις όσες και η αριθμητική τιμή του χαρτιού, οι φιγούρες θεωρούμε ότι έχουν αριθμητική τιμή πέντε.Όταν φτάσει στο νέο φύλλο κινείται δεξιά επίσης τόσες θέσεις όσες η αριθμητική τιμή του κ.ο.κ. Νοερά κάνετε και εσείς το ίδιο με το δικό σας χαρτί, έχετε πιθανότητα 84% να «πέσετε» στο ίδιο καταληκτικό χαρτί, το ανακοινώνετε με στόμφο και μένει άλαλος.

    Ας υποθέσουμε ότι,τα χαρτιά διατάχτηκαν με το ανακάτεμα ως εξής.Εσείς επιλέγετε το 5 στην πρώτη σειρά και έχετε την ακόλουθη αλυσίδα κινήσεων (δείτε σχήμα) με καταληκτικό χαρτί το 5 κούπα στην τελευταία γραμμή.

                         

 

   Από τα δέκα πρώτα χαρτιά του παραπάνω ανακατέματος μόλις σε ένα με την παραπάνω διαδικασία δεν καταλήγουμε στο 5 κούπα.Kάθε «μαθημάγος» που σέβεται τον εαυτό του γνωρίζει ότι, όταν ρωτήσουμε ένα άνθρωπο να σκεφτεί ένα τυχαίο αριθμό από το 1 μέχρι το 10  η πιθανότερη εκλογή είναι το 7….

Μπορείτε να μεταβείτε στη διαδραστική εφαρμογή:

http://oldweb.cecm.sfu.ca/cgi-bin/organics/carddemo.pl?mbutton=Shuffle

   Το κειμενάκι που σας υποσχέθηκα,το θυμήθηκα όταν,τους έβλεπα σήμερα στην τάξη να παλεύουν με ένα αλγεβρικό σύστημα.Οι σκέψεις του ήρωα του Τζόυς,Στήβεν Ντένταλους την ώρα που λύνει ασκήσεις άλγεβρας σε ένα μαθητή του.

     

  Καθ’ όλο το μήκος της σελίδας τα σύμβολα ξετυλίγονταν σαν σοβαρός μαυριτάνικος χορός , στην μασκαράτα των ψηφίων τους, φορώντας  αλλόκοτα  σκουφιά, τετράγωνα και κυβικά. Δώσε τα χέρια, άλλαξε θέση,υποκλίσου στο ταίρι σου-έτσι-ζιζάνια της φαντασίας των μαυριτανών. Φευγάτοι κι αυτοί από τον κόσμο, ο Αβερρόης και ο Μωυσής Μαιμονίδης, άνθρωποι σκοτεινοί στην όψη και στο φέρσιμο, κάνοντας να αστράφτει στους περιπαικτικούς καθρέφτες τους η σκοτεινή ψυχή  του κόσμου, μια σκοτεινιά που έλαμπε στην λιακάδα  δεν μπορούσε να αλλάξει.

                                                                                   Οδυσσέας ,Τζαίημς Τζόυς

                     

Περαιτέρω αναφορές
https://www.slideshare.net/secret/ElZJnlBMnYGCjI
http://scholarworks.umt.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1111&context=tme
https://threesixty360.wordpress.com/2007/12/04/mind-reading-and-card-tricks-the-kruskal-count/
http://www.nytimes.com/2007/01/13/obituaries/13kruskal.html?mcubz=1
http://www.nytimes.com/2007/01/13/obituaries/13kruskal.html?mcubz=1

Δεν μπορώ να αντισταθώ στον πειρασμό να ανεβάσω ένα βίντεο με τον ποιητή να απαγγέλλει...