Μαθήματα Ευρετικής.Ο Ηράκλειτος, ο Bruce lee και η αρχή του αναλλοίωτου στα μαθηματικά προβλήματα

                                     

    Ο παππούς Ηράκλειτος έλεγε ότι δεν θα μπορούσε τα πόδια του,να πλύνει δυο φορές στο ίδιο νερό του ποταμιού,γεγονός που προφανώς χαροποιεί τα ψάρια αλλά λέει και πολλά για το ευμετάβλητο του σύμπαντος.Αν δεν μπορούμε να προβλέψουμε τι θα συμβεί και αναγκαζόμαστε να διάγουμε βίο νεφελώδη και απρόσμενο,μπορούμε να έχουμε την μικρή ικανοποίηση να λύνουμε μια κατηγορία προβλημάτων που βασίζεται στο αμετάβλητο κάποιων καταστάσεων.Αντιλαμβάνεστε ότι για μια ακόμα φορά σκοπεύω να πέσω χαμηλά για να αναδείξω το...αναλλοίωτο.

  Με τον όρο αναλλοίωτο (invariant) στα μαθηματικά προβλήματα εννοούμε ένα μέγεθος ή μια ιδιότητα που δεν μεταβάλλεται.Η λύση σε τέτοιου είδους προβλήματα δεν ακολουθεί συγκεκριμένο μοτίβο,η αναλλοίωτη ιδιότητα δεν είναι εύκολο να ανιχνευτεί,κινούμαστε πολύ γενικά και πολύ συχνά ο χειρισμός εμφανίζεται ως λαγός από το καπέλο.Ο Loren στο εξαιρετικό βιβλίο του Problem-Solving Through Problems, επισημαίνει ότι  ουσιαστικά αναζητούμε το είδος (pursue parity) του αριθμού (άρτιος, περιττός), το είδος μια αλγεβρικής παράστασης όταν εμπλέκονται μεταβλητές (πολλαπλάσιο, συγκεκριμένο άθροισμα , συγκεκριμένο γινόμενο ….).Πρακτικά,σε μια διαδικασία που επαναλαμβάνεται  ελέγχουμε τι δεν αλλάζει.Ας δούμε μερικά προβλήματα.  

• Ο Γιαννάκης αγοράζει  ζαχαρωτά από το περίπτερο της γειτονιάς που κοστίζουν είτε 3  είτε 6 ευρώ, (Κιμπάρης και Μπον Βιβέρ ο Γιαννάκης). Στο τέλος του μήνα όταν ρωτήθηκε από το πατέρα του, πόσα χρήματα είχε ξοδέψει στο περίπτερο για ζαχαρωτά αυτός απάντησε 53 ευρώ.Ο πατέρας του είναι σίγουρος πως ο Γιαννάκης έκανε λάθος.Πως το ήξερε;

  Ο Γιαννάκης αγόραζε πάντα γλυκά που κόστιζαν ποσά πολλαπλάσια του 3 κατά συνέπεια κάθε χρονική στιγμή  το συνολικό ποσό που θα είχε ξοδέψει θα ήταν πολλαπλάσιο του 3.( αναλλοίωτη ιδιότητα) Ο αριθμός 53 δεν είναι πολλαπλάσιο του 3 άρα ο πατέρας του Γιαννάκη ήταν βέβαιος ότι το καμάρι του ή δεν ήξερε πρόσθεση ή έλεγε ψέματα.

• Στα βουνά της Πρατσάνης δυτικά του Στρογγυλού ακούγεται συχνά το παρακάτω δημώδες ποίημα:

Στα έξι δέντρα….

  Έξι σπουργίτες κάθονται ο καθένας σε ένα δέντρο / όλα τα δέντρα έχουν φυτευτεί στην ίδια την ευθεία γραμμή /δέντρο από δέντρο βρίσκεται ακριβώς στα έξι μέτρα /από παλιά, πάππο προς πάππο έλεγαν,ότι  οι σπουργίτες θα πετούν μόνο στα έξι δέντρα /αν ένας σπουργίτης πέταγε από ένα δέντρο σε ένα άλλο τότε ένας άλλος πέταγε από άλλο δέντρο προς την αντίθετη κατεύθυνση και τι παράξενο την ίδια την απόσταση θα διανύει /κάποτε στο ίδιο δέντρο είδα μαζί όλους τους σπουργίτες και τότε ήξερα ότι γυαλιά έπρεπε να βάλω.

Γιατί ο καλλιτέχνης πρέπει να αγοράσει γυαλιά οράσεως;

 Ποιο είναι το μέγεθος στο παραπάνω πρόβλημα που δεν μεταβάλλεται.Κάθε σπουργίτης συμβολίζεται με τον αύξοντα αριθμό του δέντρου που βρίσκεται αρχικά. Αριθμίζουμε τα δέντρα από αριστερά προς τα δεξιά 1,2,3,4,5,6. Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των δεικτών είναι: Σ=1+2+3+4+5+6=21.

Για να δούμε, ενδεικτικά κάποιες κινήσεις σύμφωνα με τους κανόνες του προβλήματος.    

                          

                                                               Σ=1+2+3+4+5+6=21

 Ο σπουργίτης στο 1^ο  δέντρο πετά δυο  δέντρα δεξιά και ο δείκτης του αυξάνεται κατά 2 ,ταυτόχρονα ο σπουργίτης από στο 6^ο δέντρο  πετά αντίθετα δυο δέντρα και ο δείκτης ελαττώνεται κατά 2.Τώρα το άθροισμα των δεικτών των σπουργιτών είναι Σ=2+3+3+4+4+5=21.Παρέμεινε το ίδιο.

                     

Ο σπουργίτης στο 2^ο  δέντρο πετά ένα  δέντρο δεξιά και ο δείκτης του αυξάνεται κατά 1 ,ταυτόχρονα ο σπουργίτης από στο 5^ο δέντρο  πετά αντίθετα ένα δέντρο και ο δείκτης ελαττώνεται κατά 1.Έτσι, τώρα το άθροισμα των  δεικτών των σπουργιτών είναι Σ=3+3+3+4+4+4=21.Παρέμεινε το ίδιο.

                     

    Παρατηρούμε,ότι ,ανεξάρτητα από τις κινήσεις των σπουργιτών το  Σ παραμένει αμετάβλητο.Όταν ένας σπουργίτης πετάξει προς κάποια κατεύθυνση και ένας άλλος πετάξει από αντίθετη κατεύθυνση από κάποιο άλλο δέντρο και διανύσει την ίδια απόσταση τότε ο δείκτης του πρώτου ελαττώνεται κατά τον ίδιο αριθμό που αυξάνεται ο δείκτης του δευτέρου άρα το άθροισμα των δεικτών παραμένει σταθερό.Το άθροισμα Σ είναι αναλλοίωτο. Το άθροισμα ισούται μες 21,αν όλοι οι σπουργίτες έχουν συγκεντρωθεί μετά από κάποιες κινήσεις στο ίδιο δέντρο με δείκτη μ του θα ισχύει 6μ=21.Άτοπο, καθώς το 21 δεν είναι πολλαπλάσιο του 6.Άρα, σίγουρα δεν είναι δυνατόν να συγκεντρωθούν όλοι οι σπουργίτες στο ίδιο δέντρο.         

• Σε ένα κουτί υπάρχουν επτά κόκκινες και  έξι  πράσινες μπάλες. Ο Γιαννάκης παίζει ένα παράξενο παιχνίδι. Αφαιρεί κάθε φορά δυο μπάλες από το κουτί, με τους εξής κανόνες:

-Αν οι μπάλες είναι και οι δυο πράσινες, ξαναβάζει στο κουτί μια πράσινη.

-Αν οι μπάλες έχουν διαφορετικό χρώμα, ξαναβάζει στο κουτί μια κόκκινη.

-Αν οι μπάλες είναι και οι δυο κόκκινες, ξαναβάζει στο κουτί μια πράσινη.

Στο τέλος, θα απομείνει μια μπάλα στο κουτί. Ποιο είναι το χρώμα της;

  Σε κάθε κίνηση το πλήθος των κόκκινων σφαιρών είτε ελαττώνεται  κατά δυο είτε παραμένει σταθερό (αναλλοίωτο), το πλήθος των κόκκινων σφαιρών  είναι 7 που δεν είναι  πολλαπλάσιο του 2 άρα  σίγουρα δεν μπορούν αφαιρεθούν όλες οι κόκκινες σφαίρες ,όποια επιλογή κινήσεων και αν γίνει θα μείνει μια κόκκινη.

Προβληματάκι από το βιβλίο του Terence Tao "Solving Mathematical problems".

 • Σε ένα νησί ζούνε 13 πράσινοι χαμαιλέοντες, 15 κίτρινοι χαμαιλέοντες και 17 κόκκινοι χαμαιλέοντες.
 Όταν δύο διαφορετικού χρώματος συναντιούνται, αλλάζουν και οι δύο στο τρίτο χρώμα (π.χ. αν συναντηθούν ένας πράσινος με έναν κίτρινο θα αλλάξουν και οι δύο το χρώμα τους σε κόκκινο).
 Υπάρχει ακολουθία με την οποία αν συναντηθούν ζευγάρια μεταξύ τους, θα έχουν όλοι οι χαμαιλέοντες του νησιού το ίδιο χρώμα;

  Αν α,β,γ τα πλήθη των πράσινων,κόκκινων,κίτρινων χαμαιλεόντων αντίστοιχα. Άρα (α,β,γ) είναι η αρχική κατάσταση όταν τίθεται το πρόβλημα.Κάθε φορά που θα συναντιούνται δυο χαμαιλέοντες διαφορετικού χρώματος θα  έχουμε μια από τις παρακάτω καταστάσεις ( α-1,γ-1,γ+2) ή (α-1,β+2,γ-1) ή (α+2,β-1,γ-1).Παρατηρούμε ότι οι διαφορές β-α,γ-β,γ-α  (β-α=2,γ-β=2 ,γ-α=4) είτε δεν θα αλλάζουν είτε θα μεταβάλλονται κατά 3, αυτό σημαίνει  τα υπόλοιπα των διαιρέσεων των α-β,β-γ,α-γ με το 3 δεν θα μεταβάλλονται ((β-α) Mod3=2,(γ-β)mod3=2,(γ-α)mod3=1,αναλλοίωτο). Όμως ,στην επιθυμητή τελική κατάσταση  που όλοι οι χαμαιλέοντες θα έχουν πάρει το ίδιο χρώμα π.χ πράσινο.Οι διαφορές  θα είναι     α-β=45,β-γ=0,α-γ=45 στην διαίρεση με το 3 όμως το υπόλοιπο είναι 0 και όχι 2.Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι,ποτέ οι χαμαιλέοντες δεν θα πάρουν το ίδιο χρώμα.

•

Aν αριθμήσουμε τα γρανάζια με αρχικό οποιοδήποτε 1,2,3,..,10,11 τότε το 1ο και το 11ο θα έπρεπε να γυρίσουν κατά την ίδια φορά,γεγονός που δεν είναι δυνατό εφόσον εναλλάξ η φορά αλλάζει.Το αναλλοίωτο εδώ εμφανίζεται παρατηρώντας ότι τα "περιττά" γρανάζια περιστρέφονται όλα με την ίδια φορά ενώ τα "άρτια" με την αντίθετη.

•Ο Γιάννης ,ο Γιώργος και δυο φιλικά τους πρόσωπα  πήγαν στην χασαποταβέρνα «Το χοιρομέρι» για φαγητό και κάθισαν ένα τραπέζι.Ο Γιάννης παρατήρησε ότι  στην ταβέρνα  βρίσκονταν 23 άνδρες και 32 γυναίκες πελάτες (συμπεριλαμβανόμενων και των τεσσάρων της παρέας).Ο Γιάννης καθόταν δίπλα στην είσοδο και μπορούσε να δει όλους όσους έμπαιναν ή έβγαιναν από το μαγαζί.Παρατήρησε λοιπόν τα έξης :

 Για κάθε δυο πελάτες που έφευγαν από το μαγαζί ένας νέος πελάτης ερχόταν. Συγκεκριμένα  αν οι δυο πελάτες που έφευγαν ήταν του ίδιου φύλου τότε ερχόταν μια γυναίκα πελάτισσα.Αντίθετα αν οι δυο πελάτες που έφευγαν ήταν διαφορετικού φύλου τότε ερχόταν ένα άντρας πελάτης.Ένα πρόσωπο από την παρέα του Γιάννη και του Γιώργου (μαζί με κάποιο άλλο πρόσωπο)έφυγε από το  μαγαζί  αλλά  ξαναγύρισε μόνο  του διότι θυμήθηκε ότι δεν είχε πληρώσει για τον λογαριασμό.Τότε,ο  Γιώργος παρατήρησε ότι οι μοναδικοί πελάτες που είχαν μείνει στο μαγαζί ήταν αυτός,ο Γιάννης, και τα δυο άτομα της παρέας τους. Το ερώτημα είναι το εξής:Είναι του ίδιου φύλου τα δυο φιλικά πρόσωπα  του Γιάννη και  του Γιώργου;

  Από τις συνθήκες  του προβλήματος βλέπουμε ότι ο αριθμός των ανδρών στο μαγαζί ελαττώνεται  κατά 0 (αν δυο γυναίκες ή ένας άνδρας και μια γυναίκα φύγουν ) ή κατά 2 (αν φύγουν δυο άνδρες). Όταν αρχικά μπήκε μέσα η παρέα των τεσσάρων, υπήρχε περιττός αριθμός από άνδρες στο μαγαζί  και ακολούθως με κάθε μετακίνηση το πλήθος των ανδρών θα παρέμενε περιττός (αναλλοίωτη ιδιότητα).Τελικά ,όταν μόνο η παρέα τους έμεινε στο μαγαζί  επίσης πρέπει ο αριθμός των ανδρών να είναι περιττός.Εφόσον έχουν ήδη δυο άνδρες (Γιάννης και Γιώργος) μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ένα από τα  δυο πρόσωπα  θα είναι άνδρας και το άλλο γυναίκα.

  Σας  ακούω,που ψιθυρίζετε:αρκεί η παράθεση μερικών προβλημάτων για να κατανοήσουμε την μέθοδο; Ακολουθώντας την συμβουλή των ερμητιστων Obscurum per obscurius,ignotum per ignotius δηλ να ερμηνεύεις, το σκοτεινό με το πιο σκοτεινό  και το άγνωστο με το πιο άγνωστο παραθέτω Bruce Lee.

                  Άδειασε το μυαλό σου, γίνε χωρίς μορφή, χωρίς σχήμα, σαν το νερό.

                  Εάν βάλεις νερό σε μία κούπα, εκείνο γίνεται η κούπα.

                  Εάν βάλεις νερό σ’ένα μπουκάλι, γίνεται το μπουκάλι.

                  Εάν το βάλεις στην τσαγιέρα, γίνεται η τσαγιέρα.

                  Τώρα το νερό μπορεί να κυλήσει ή να συγκρουστεί.

                  Να είσαι νερό, φίλε μου.

                                                       Bruce Lee 

   Αστειεύομαι,αν θέλετε να μάθετε περισσότερα για το αναλλοίωτο ως στρατηγική επίλυσης διαγωνιστικών μαθηματικών προβλημάτων,στο τέλος της ανάρτησης παραθέτω βιβλιογραφία και σας συνιστώ να παρακολουθήσετε την ομιλία από το παράρτημα Μαγνησίας  της Ελληνικής  Μαθηματικής Εταιρείας με ομιλητή τον Αθανάσιο Μάγκο. Αρκούντως εύληπτη και πολύ κατατοπιστική.

                        

Περαιτέρω πληροφορίες 

• Problem Solving Strategies  - Arthur Engel

• The Art and Craft of Problem Solving  - Paul Zeitz

• Mathematical circles (Russian experience)-D.Fomin,S.Genkin,I.Itenberg,

•Problem-Solving Through Problems, LCLoren

• Solving Mathematical problems,Terence Tao 

• Η αρχήτου Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων-Νασιούλας Αντώνης

• Ολυμπιάδες Μαθηματικών Β’ - Γ’ Γυμνασίου/ Α’ Λυκείου - Μπάμπης Στεργίου

• http://www.cemc.uwaterloo.ca/events/mathcircles/2010-11/Winter/Senior_Mar23.pdf

• http://onlinemathcircle.com/wp-content/uploads/2011/05/Invariance-Principle.pdf

•  http://www.math.lsa.umich.edu/~hderksen/math289.f01/math289old/PS8.pdf

• http://www.ias.ac.in/resonance/Volumes/15/07/0595-0603.pdf