Ένα συμπαθητικό πρόβλημα και μια Φερμά δημοσιογραφική παρέμβαση ....

   Ένα παραλλαγμένο προβληματάκι από τον διαγωνισμό Putnam με  ολίγη  από  διακριτά  μαθηματικά  και ένας γρίφος για τούς μικρούς φίλους του  ιστολογίου ,προερχόμενος  από  μια αποτυχημένη  προσπάθεια να καταρριφθεί η ισχύς του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά.


 1) Ο κόσμος του Ηeavy Μetal  στην Λοξολανδη είναι παράξενος.Χαρακτηριστικό παράδειγμα Τα Ροκαλιαράκια.Τα Ροκαλιαράκια είναι μια μουσική μπάντα που αποτελείται από έξι μουσικούς με πολύ ιδιαίτερα χαρακτηριστικά.Ανά δυο, οι μουσικοί  της μπάντας είτε έχουν αμοιβαία συμπάθεια είτε αμοιβαία αντιπάθεια.Όχι μεσοβέζικες καταστάσεις.Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι δεν υπάρχει ομάδα τριών μουσικών που να έχουν αμοιβαία συμπάθεια. Να αποδείξετε ότι  τουλάχιστον μια ομάδα τριών μουσικών της μπάντας έχουν αμοιβαία αντιπάθεια.

  Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί  γραφικά.Έξι τελείες στο επίπεδο αναπαριστούν τους έξι μουσικούς. Όλες οι τελείες ενώνονται με διακεκομμένες γραμμές που συμβολίζουν μια σχέση συμπάθειας η αντιπάθειας. Με τις μπλε  γραμμές συμβολίζουμε την σχέση συμπάθειας ενώ με τις κόκκινες μια σχέση αντιπάθειας. 

   Ας δούμε την τελεία Α, από τις πέντε γραμμές που ξεκινούν από αυτή  τουλάχιστον οι τρεις πρέπει να έχουν το ίδιο χρώμα. 

-Έστω ότι οι τρεις γραμμές ίδιου χρώματος είναι κόκκινες.Αν οι γραμμές που απαρτίζουν το τρίγωνο ΒΕΓ είναι και οι τρεις μπλε τότε έχουμε μια ομάδα τριών μουσικών που συμπαθούν αμοιβαία ο ένας τον άλλα. Άτοπο, από υπόθεση.Συνεπώς, μια πλευρά του τριγώνου είναι κόκκινη. Ανεξάρτητα ποια από τις τρεις είναι κόκκινη,όποια και αν επιλέξουμε τότε σχηματίζεται ένα τρίγωνο με τρεις κόκκινες πλευρές.Άρα τουλάχιστον μια ομάδα τριών μουσικών της μπάντας έχουν αμοιβαία αντιπάθεια.(σχήμα 1)

-Έστω ότι οι τρεις γραμμές ίδιου χρώματος είναι μπλε.Στο τρίγωνο ΒΕΓ όλες οι γραμμές είναι κόκκινες.Αν έστω και μια ήταν μπλε τότε θα σχηματιζόταν ένα τρίγωνο με μπλε πλευρές ,άτοπο από υπόθεση. Άρα και σε αυτήν την περίπτωση έχουμε ένα τουλάχιστον τρίγωνο με τρεις κόκκινες πλευρές (σχήμα 2) 

                                          (σχήμα 1)                                             (σχήμα 2)          

2)Δημοσιογραφικό έργο!!

 Οι παροικούντες στην χώρα των αριθμών γνωρίζουν πολύ καλά τον θρύλο που περιβάλλει  το  τελευταίο  θεώρημα  του Φερμά. Διατυπώνεται ως εξής: 

Αν ένας ακέραιος ν είναι μεγαλύτερος του 2  τότε  η  εξίσωση   x^v+y^v=z^v, όπου x,y,z θετικοί    ακέραιοι δεν έχει λύση..

 Ένα θεώρημα που αντιστάθηκε για περισσότερα από 300 χρόνια σε κάθε προσπάθεια να αποδειχθεί.Τελικά, το  απέδειξε ο μαθηματικός Άντριου Γουαιλς,το 1995.Τον Μάρτιο του 1938, το περιοδικό Time δημοσίευσε την είδηση ότι ο μαθηματικός  Σάμιουελ Ισαάκ Κρίγκερ,ανακάλυψε ένα αντιπαράδειγμα για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά.

Ο Κρίγκερ ισχυρίστηκε ότι η εξίσωση 1324^ν+731 ^ν =1961 ^ν έχει λύση για ν μεγαλύτερο του 2.Όμως ένας δημοσιογράφος των New York Times κατέρριψε τον ισχυρισμό του Κρίγκερ.

Αν μπόρεσε ένας δημοσιογράφος τότε μπορείτε και εσείς.Πως το έκανε; 

Η λύση στα σχόλια.

Bonus τραγουδάκι από Rory Gallagher