Ένα προβληματάκι με αριθμούς γείτονες,μια ψευδοαπόδειξη από τον Hugo Steinhaus και ο μαγικός 777..

                   

  

 Θερινά παραλίμνια ανάλεκτα από τον Ίναχο Αιτωλοακαρνανίας. Ένα προβληματάκι από το περιοδικό Mathematics Μagazine.Ισχύει 14=15;;Τέλος,ένα αριθμητικό τρικ για τους μικρούς φίλους του ιστολογίου...  

  Στους κύκλους του παρακάτω σχήματος πρέπει να τοποθετήσετε τους αριθμούς 1,2,3,4,5,6,7,8 μια φορά τον καθένα κατά τέτοιο τρόπο ώστε για οποιοδήποτε ζεύγος κύκλων που συνδέονται με ένα ευθύγραμμο τμήμα οι αριθμοί που περιέχουν να μην διαφέρουν κατά μια μονάδα. Για παράδειγμα αν στον κύκλο Α τοποθετήσουμε το 3 δεν μπορούμε να τοποθετήσουμε τους κύκλους B,C,D το 2 ή το 4.

               
                                         (Mathematics Magazine vol 45, November 1972)

Για την λύση ΠΑΤΗΣΕ ΕΔΩ

Μια απόδειξη οτι 14=15   

                                  

                                                     Hugo Steinhaous (1887-1972)

Στο Wroclaw της Πολωνίας ,το 1952 κατά την διάρκεια μιας συνάντησης των συμμετεχόντων για την μαθηματική ολυμπιάδα, ο μαθηματικός J.Mikusinski παρουσίασε μια διαμέριση  του επιπέδου  σε κυρτά επτάγωνα  έτσι ώστε  κάθε κορυφή του «μωσαϊκού» να συνορεύουν ακριβώς τρία επτάγωνα. Ο  Πολωνός μαθηματικός Hugo Steinhaous –γνωστός μας  από το πρόβλημα των ίσων μεριδίων-με αφετηρία το παραπάνω συμπέρασμα  παρουσιάζει  μια «ψευδοαπόδειξη» ότι ισχύει 14=15.

Ο  Steinhaous  ισχυρίζεται:

«…συμβολίζουμε  P=180^o .Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού επταγώνου είναι          (7-2)P=5P, άρα, το μέσο μέτρο (σε μοίρες ) μιας γωνίας στο τυχαίο  επτάγωνο της κάλυψης είναι 5P/7.Ομως  όλο το επίπεδο είναι καλλυμενο με επτάγωνα, κατά συνέπεια, το μέσο μέτρο σε μοίρες μιας γωνίας στο «μωσαϊκό» του επιπέδου είναι επίσης 5P/7.Αλλα σε  κάθε κορυφή του μωσαϊκού τέμνονται 3 τέτοιες γωνίες όπου το μέσο μέτρο μιας γωνίας είναι 2P/3.Ειναι προφανές ότι κάθε γωνία ανήκει σε κάποια κορυφή του μωσαϊκού. Δηλαδή, ισχύει:

                                     2P/3=5P/7 ή 2/3=5/7 ή 14=15!!

Που βρίσκεται το λάθος στον παραπάνω συλλογισμό;»

 Το πλήθος των επταγώνων που καλύπτουν το επίπεδο είναι άπειρο ,η μέση τιμή μιας άπειρης ακολουθίας όρων εξαρτάται από την τοποθέτηση των όρων.

Για παράδειγμα αν θεωρήσουμε τους όρους

                                     1,0,1,0,1,0, 1,0,1,0,1,0,….

Έχουν μέσο όρο το 1/2 .

Αν αναδιατάξουμε τους όρους

             1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1….

Έχουν μέσο όρο το 0.

Άρα το σφάλμα  στο συλλογισμό είναι ότι δεν λαμβάνονται  υπόψη οι διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορούμε να διατάξουμε τους απείρους όρους μιας ακολουθίας , όροι που στο εν λόγω παράδειγμα είναι οι γωνίες των επταγώνων που καλύπτουν το επίπεδο. Άρα σίγουρα το επίπεδο δεν καλύπτεται μονοσήμαντα από επτάγωνα.    

Ο μαγικός 777

   Πείτε σε ένα φίλο σας να σκεφτεί έναν αριθμό ανάμεσα στο 500 και στο 1000  χωρίς να τον ανακοινώσει. Προτρέψτε τον, νοερά ,να προσθέσει στον αριθμό το «μαγικό» αριθμό  777 .Το άθροισμα προφανώς ξεπερνά το 1000,πείτε του, από το αποτέλεσμα να αποκόψει το ψηφίο των χιλιάδων και να το προσθέσει στο ψηφίο των μονάδων. Στην συνέχεια -πάντα νοερά-  πρέπει να αφαιρέσει από τον αριθμό που σκέφτηκε το προηγούμενο αποτέλεσμα. Ανακοινώστε του ότι η διαφορά είναι 222.

         Για παράδειγμα αν σκεφτεί  το 600 τότε έχουμε διαδοχικά:

                                       600+777=1377

        Αποκόπτουμε το 1 και το προσθέτουμε στο 7

                                       377+1=378

        Αφαιρούμε από τον αρχικό αριθμό (600) το 378.

                                       600-378=222

Πως αιτιολογείται το γεγονός ότι πάντα το τελικό αποτέλεσμα είναι 222;

    Αν προσθέσουμε οποιοδήποτε αριθμό από το 500  μέχρι το 1000 στο 777 προκύπτει ένα αριθμός που το ψηφίο των χιλιάδων είναι πάντα το 1.Αν λοιπόν αποκόψουμε το ψηφίο των χιλιάδων και το προσθέσουμε στο ψηφίο των μονάδων ουσιαστικά αφαιρούμε από το άθροισμα τον αριθμό 1000-1=999

Αν Χ είναι ο αριθμός που σκέπτεται το υποψήφιο θύμα τότε η παραπάνω διαδικασία αλγεβρικά συνοψίζεται:

                                      Χ-(Χ+777-999)=222

Προφανώς θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε αντί για το 777 ένα άλλο αριθμό μεγαλύτερο του 500.Μόνο το τελικό αποτέλεσμα αλλάζει..