Μαθη...μαγικά : Memorizers VS Thinkers.Σχολικά Μαθηματικά: Υπολογισμοί, μεθοδεύσεις,ιδέες,ο πρώτος του Γκρονθέτικ και λοιποί αστικοί μαθηματικοί μύθοι….

Τρίτη 29 Σεπτεμβρίου 2015

Memorizers VS Thinkers.Σχολικά Μαθηματικά: Υπολογισμοί, μεθοδεύσεις,ιδέες,ο πρώτος του Γκρονθέτικ και λοιποί αστικοί μαθηματικοί μύθοι….

Μια ιστορία από το μαθηματικό σύμπαν του παρελθόντος.

Ο Ερνστ Κούμερ (1810-1893) ήταν κορυφαίος μαθηματικός με σημαντική συνεισφορά στα εφαρμοσμένα μαθηματικά.Κατόρθωσε να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για όλους τους εκθέτες μικρότερους του 600. Για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα δίδασκε μαθηματικά σε γυμνάσιο.Υπήρξε θρυλικός για την αφηρημάδα(;;) του. Ο Πωλ Έρντος διηγείται μια πολύ γνωστή ιστορία από την εποχή που ο Κούμερ δίδασκε σε σχολείο. Λέγεται ότι κάποια μέρα,ήταν στην τάξη μπροστά από τον μαυροπίνακα προσπαθώντας να πολλαπλασιάσει 9 επί 7. «Χμμ», είπε ο Κούμερ στους μαθητές του, το γινόμενο δεν μπορεί να είναι 61, διότι το 61 είναι πρώτος αριθμός, ούτε 65 μπορεί να είναι, διότι είναι πολλαπλάσιο του 5,το 67 είναι πρώτος αριθμός, το 69 παρά είναι πολύ… άρα δεν μένει παρά το 63.»

Πότε δεν το είχα σαν μαθητής στο δημοτικό με τις γρήγορες αριθμητικές πράξεις, και με μια αίσθηση ανεπάρκειας σε σχέση με τα άλλα παιδιά στο γυμνάσιο και στο λύκειο προσπάθησα να ενισχύσω τις υπολογιστικές μου δεξιότητες. Σημειώνω ότι εκείνη την εποχή δεν υπήρχαν κινητά με τις «έξυπνες» αριθμομηχανές τους. Σαν φοιτητής στο μαθηματικό είδα ότι η αριθμητική ικανότητα δεν έχει μεγάλη σημασία καθώς στα περισσότερα μαθήματα αυτό που μετρούσε είναι η κατανόηση των εννοιών και όχι πόσο γρήγορα μπορείς να πολλαπλασιάσεις. Εκείνη την εποχή, βασικό πανεπιστημιακό εγχειρίδιο για τον Απειροστικό λογισμό ήταν το κλασσικό ομώνυμο σύγγραμμα του Σπίβακ. Στην αρχή ήμουν ανίκανος να το εκτιμήσω, απόλυτα μολυσμένος από την ακατάσχετη φροντιστηριακή μεθοδολογία των πανελλήνιων. Το βιβλίο ήταν και εξακολουθεί να είναι εξαιρετικό επειδή ακριβώς δίνει ερεθίσματα και δεν παραθέτει στεγνά μαθηματικές έννοιες. Χάρηκα ,όταν έπειτα από αρκετά χρόνια έμαθα ότι ο Σπίβακ υπήρξε ο ένας εκ των δυο ιδρυτών της μέρας του κίτρινου χοίρου και της αναγόρευσης του 17 ως τον απόλυτο αριθμό. Άλλα,αυτή είναι μια ιστορία που θα σας την διηγηθώ στο μέλλον. Επανέρχομαι. Σκεφτείτε, ότι η τοπολογία δεν είχε καν νούμερα ή ότι στην άλγεβρα του πρώτου έτους δέσποζαν ομάδες ,υποομάδες, δακτύλιοι, ιδεώδη, σώματα, έννοιες που κατ’ ουσίαν δεν ενέπλεκαν αριθμούς ως τετριμμένα νούμερα άλλα τους μελετούσαν ως σύνολα.

Αργότερα ως καθηγητής, είδα ότι πολλοί δάσκαλοι ενίσχυαν την άποψη ότι τα βασικά μαθηματικά είναι αριθμητικοί υπολογισμοί, ενώ ανώτερα μαθηματικά είναι τα μακρινά ξαδελφάκια τους, πιο σύνθετες αριθμητικές μεθοδεύσεις–συνταγές. Μια απόλυτα βολική προσέγγιση στην εκπαιδευτική διαδικασία. Είναι πολύ πιο εύκολο να παρουσιάσεις μια αλγοριθμική διαδικασία παρά να μεταλαμπαδεύσεις μια μαθηματική ιδέα.Τότε, το μόνο που έλεγα στα παιδιά είναι αν τους αρέσει να υπολογίζουν καλύτερα να γίνουν λογιστές η μπακάληδες.

Γιατί τα γράφω όλα αυτά; Διάβασα την προηγούμενη εβδομάδα ένα άρθρο από μια καθηγήτρια μαθηματικών του Στάνφορντ,την Jo Boaler που μελέτησε στατιστικά στοιχεία από 13 εκατομμύρια μαθητές που έλαβαν μέρος στον διαγωνισμό Pisa (επισυνάπτω το ογκώδες αρχείο στο τέλος της ανάρτησης )

Το αποτέλεσμα είναι ότι οι μαθητές που έχουν έφεση στους αριθμητικούς υπολογισμούς και ευχέρεια στην χρήση μεθοδεύσεων ( Η Jo Boaler τους αποκαλεί memorizers) είχαν υποδεέστερες βαθμολογικές επιδόσεις από αυτούς που αντιμετώπιζαν τα μαθηματικά σαν ένα σύνολο από ιδέες και έννοιες και με αφετηρία αυτές προσέγγιζαν τα προβλήματα.

Η Boaler γράφει :

« Δεν χρειαζόμαστε μαθητές να κάνουν ταχείς υπολογισμούς. Χρειαζόμαστε μαθητές που να μπορούν να θέσουν τις κατάλληλες ερωτήσεις, να χαρτογραφήσουν μονοπάτια ,να επιχειρηματολογήσουν υπέρ σύνθετων λύσεων, να δέσουν τα μαθηματικά με μοντέλα του πραγματικού κόσμου.»

Τα μαθηματικά σαν αντικείμενο δεν απαιτούν γρήγορη σκέψη. Ο Γάλλος μαθηματικός Laurent Schwartz - κάτοχος μεταλλίου Fields- στην αυτοβιογραφία του, έγραφε, ότι ένιωθε ηλίθιος στο σχολείο επειδή την ώρα των μαθηματικών αντιλαμβανόταν σχετικά αργά .Με τον χρόνο κατάλαβε ότι η ταχύτητα δεν είναι σημαντική «Αυτό που είναι σημαντικό είναι η εμβάθυνση στις έννοιες και η αντίληψη των δεσμών μεταξύ τους. Εκεί βρίσκεται η μαθηματική ευφυΐα.Το γεγονός της γρήγορης ή αργής προόδου είναι δευτερεύον.»

Laurent Schwartz

Σε μια συνέντευξη,το 2003,ο επίσης κάτοχος του μεταλλίου Fields Terence Tao ρωτήθηκε:

Τι θα συμβουλεύατε τους νέους που θέλουν να ασχοληθούν με τα μαθηματικά (μαθητές , φοιτητές)

Ο Τάο απάντησε :

Λοιπόν,υποπτεύομαι ότι θα πρέπει να τους προειδοποιήσουν ότι οι εντυπώσεις που έχουν για το τι κάνει ένα επαγγελματίας μαθηματικός είναι απολύτως εσφαλμένες και ξεκομμένες από την πραγματικότητα .Στο γυμνάσιο είχα την αίσθηση ότι οι επαγγελματίες μαθηματικοί περνούν την ζωή τους υπολογίζοντας, τα ψηφία του π ,για παράδειγμα ή ότι θέτουν μεταξύ τους και κατόπιν επιλύουν προβλήματα μαθηματικών διαγωνισμών.

Η πλέον αγαπημένη μαθηματική ιστορία που διαχωρίζει το μπακάλη από τον μαθηματικό έρχεται από ένα μέλος των Μπουρμπακί ,τον Αλεξάντερ Γκρονθέτικ.

Αλεξάντερ Γκρονθέτικ

O Αλεξάντερ Γκρονθέτικ, μια από τις πλέον εμβληματικές φυσιογνωμίες των μαθηματικών του εικοστού αιώνα. Έζησε την παιδική του ηλικία σε ένα στρατόπεδο συγκέντρωσης λόγω της αντιστασιακής δράσης των γονέων του. Εκεί, παρά τις κακουχίες έκανε κτήμα του τα μαθηματικά και μόλις δεκαπέντε χρονών ανακάλυψε –χωρίς βέβαια να ξέρει ότι κάποιος άλλος τον πρόλαβε- την θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης κατά Lebeque. Μέλος των Μπουρμπακί με μια γόνιμη μαθηματική σταδιοδρομία 30 χρόνων του απονεμήθηκε το μετάλλιο Fields.Η ύψιστη μαθηματική διάκριση. Πέρασε μια περίοδο της ζωής του ως ακτιβιστής των ανθρωπίνων δικαιωμάτων ώσπου τελικά αποσύρθηκε από τα εγκόσμια και ζούσε απομονωμένος σε ένα μικρό χωριό στην Γαλλία στα Πυρηναία όρη.O Γκρονθέτικ υπήρξε τόσο χαρισματικός που σκεπτόταν εντελώς διαφορετικά από τους περισσότερους μαθηματικούς. Στα μαθηματικά εργάζεται κανείς με παραδείγματα και μετά προσπαθεί να γενικεύσει. Το μυαλό του Γκρονθέτικ, λειτουργούσε με γενικότητες. Λέγεται ότι μια φορά, σε ενα σεμινάριο, είπε κάτι για ένα πραγματικό αριθμό και κάποιος από τους συμμετέχοντες τον ρώτησε αν μπορούσε να γίνει πιο σαφής. «Εννοείτε να δώσω έναν πραγματικό πρώτο αριθμό;» Ρώτησε ο Γκρονθέτικ και ο φοιτητής απάντησε ναι, παρακαλώ. Τότε, ο Γκροθεντικ είπε: «Εντάξει λοιπόν το πενήντα επτά.» Φυσικά, το πενήντα επτά δεν είναι πρώτος αριθμος(19*3=57). Αστειευόταν; Δεν ήταν σίγουρο, δεν σκεπτόταν με συγκεκριμένους όρους.Τον ενδιέφεραν οι γενικές ιδιότητες τον αριθμών και κάποιοι συγκεκριμένοι αριθμοί. Έκτοτε στην μαθηματική παραφιλολογία, το 57 ονομάζεται «πρώτος του Γκρονθέτικ.