Η ευθεία δεν είναι πάντα η συντομότερη οδός,η τύχη μιας μύγας,μια τετραγωνική πλατεία και λοιποί πυθαγόρειοι γρίφοι.

 

    Στις κατασκότεινες νύχτες του χειμώνα,όταν οι ψαράδες περνούν δίπλα από τις ανεμοδαρμένες κατακόρυφες πλαγιές του όρου Κέρκης,λένε ότι  βλέπουν ένα φως πάνω στην κορυφή του,το οποίο σαν φάρος τους καθοδηγεί με ασφάλεια κατά την διάρκεια των καταιγίδων.Λένε ότι το φως είναι το πνεύμα του Πυθαγόρα.Ο Πυθαγόρας γεννήθηκε στην Σάμο πριν από σχεδόν 2500 χρόνια και κληροδότησε στον κόσμο την φιλοσοφία του και τα μαθηματικά του.Ζει ακόμα στην καρδιά και στην ψύχη των ψαράδων της Σάμου.

                                                               Απόσπασμα  από Σαμιώτικο τουριστικό οδηγό

  Υπήρξα απόφοιτος του μαθηματικού τμήματος στην Σάμο και έχω μια αδυναμία τόσο στο νησί όσο και στον εμβληματικό μαθηματικό εκπρόσωπο του,τον Πυθαγόρα.Η σημερινή ανάρτηση αφορά την ιστορία των ψυχαγωγικών μαθηματικών και το Πυθαγόρειο θεώρημα. Πέντε σχετικά προβλήματα.

  Η τετραγωνική πλατεία

 O Λιούις Κάρολ – ο συγγραφέας της Αλίκης στην χώρα των θαυμάτων-το 1850,επινόησε και δημοσίευσε το ακόλουθο γεωμετρικό πρόβλημα  που αφορά μια τετραγωνική πλατεία 21x21  με τέσσερα σημεία Α,Β,Γ,Δ. Το ερώτημα είναι,από ποιο σημείο το άθροισμα των αποστάσεων από τα άλλα τρία σημεία είναι το μικρότερο;

                      

  

  Για την επίλυση του προβλήματος απαιτείται πολλαπλή χρήση του πυθαγορείου θεωρήματος.

ΑΒ=(12²+5²)^(1/2)=13

ΑΓ=21

ΑΔ=(9²+8²)^(1/2)=12+

ΒΓ=(16²+12²)^(1/2)=20

ΒΔ=(3²+21²)^(1/2)=21+

ΓΔ=(13²+9²)^(1/2)=15+

Με 12+,21+,15+ ο Κάρολ θέλει να δείξει ότι οι τρεις αυτές ρίζες δίνουν κάτι παραπάνω από 12,21,15.

Το άθροισμα των αποστάσεων από το Α ως τα υπόλοιπα σημεία  είναι μεταξύ 46 και 47,από το Β μεταξύ 54 και 55,από το Γ 56 και 57 και από το Δ μεταξύ 48 και 51.Επομένως το άθροισμα είναι μικρότερο από το σημείο Α.

    Ο H.Dudeney (1857-1930) θεωρείται  ο μεγαλύτερος δημιουργός μαθηματικών γρίφων στην Αγγλία.Δεν είχε λάβει πότε την τυπική μαθηματική εκπαίδευση, ωστόσο διέθετε το χάρισμα  να επιλύει δύσκολα προβλήματα,τα οποία συχνά ανθίστανται πεισματικά στην συμβατική σκέψη.Έγραψε έξι βιβλία διασκεδαστικών μαθηματικών.Στο ένα από αυτά με τίτλο Canterbury puzzles (Ιστορίες του Κάντερμπερι) βρίσκουμε την σπαζοκεφαλιά:

    

Η αράχνη και η μύγα

  Μέσα σε ένα δωμάτιο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου,μήκους 30 ποδιών, πλάτους και ύψους 12 ποδιών,βρίσκονται μια αράχνη,σε ένα σημείο επί της μεσοκαθέτου ενός πλευρικού τοίχου το ποιο απέχει 1 πόδι από την οροφή (σημείο Α),και μια μύγα,σε ένα σημείο επί της μεσοκαθέτου του απέναντι τοίχου  το οποίο απέχει 1 πόδι από  το δάπεδο (σημείο Β).Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή που μπορεί να διανύσει η αράχνη για να φτάσει την μύγα,η οποία στέκει ακίνητη;
 Φυσικά, η αράχνη δεν ρίχνει ούτε χρησιμοποιεί τον ιστό της αλλά έρπει πάνω στους τοίχους του δωματίου.

                   

                   

Υπενθυμίζουμε ότι το πόδι είναι μονάδα μέτρησης μήκους.(1 πόδι=0,3048 μέτρα)
  Η λύση προκύπτει ισοπεδώνοντας το παραλληλεπίπεδο,όπως πατικώνουμε ένα κουτί πριν το πετάξουμε στον κάδο ανακύκλωσης.Αυτό μπορεί να γίνει,με τρεις τρόπους:

     

 

            

   
                                 

 

▪ Στην περίπτωση (α) η απόσταση είναι d=1+30+11=42 πόδια.

▪ Στην περίπτωση (β) απαιτείται η χρήση του πυθαγορείου θεωρήματος.

 Η οριζόντια απόσταση ανάμεσα στην αράχνη και την μύγα είναι 1+30+6=37 ενώ η κάθετη απόσταση είναι 6+11=17  πόδια.

Άρα d=(37²+17²)^(1/2) περίπου 40,7 πόδια.

 

 

 

 ▪  Στην περίπτωση (γ)  η οριζόντια απόσταση είναι 1+30+1=32 πόδια,ενώ η κάθετη 6+12+6=24 πόδια κατά συνέπεια

   d=(32²+24²)^(1/2) =(1600)^(1/2) =40 πόδια

                    

 

  Άρα,η περίπτωση (γ) αποτελεί την συντομότερη διαδρομή.Τα παραπάνω αποδεικνύουν ότι  η ευθεία διαδρομή(περίπτωση (α)) δεν αποτελεί την συντομότερη διαδρομή για την συγκεκριμένη επιφάνεια που εξετάζουμε.

Στο ίδιο βιβλίο του Dudeney  βρίσκουμε μια σπαζοκεφαλιά με την ονομασία «ο γρίφος του πυθαγορείου τετραγώνου».

  Δίνονται ένα μικρό τετράγωνο και ένα μεγαλύτερο τετράγωνο που συντίθεται από 4 άνισα  κομμάτια και πρέπει να  τα συνδυάσουμε έτσι ώστε να σχηματιστεί  ένα μεγαλύτερο τετράγωνο.

               

 Λύση

                                         

                       

"Όμορφο και αγαπητό υπέροχο κορίτσι με μάτια σαν του ζαρκαδιού!Αν είσαι ικανή στον πολλαπλασιασμό,πες μου,πόσο κάνει 135 φορές το 12;"
                                                                                            Bhaskara ,Lilavati

  Ο Ινδός μαθηματικός Bhaskara,το 1150,έγραψε ένα βιβλίο με τίτλο Lilavati (η όμορφη) για να παρηγορήσει την κόρη του, που αστρονόμοι αποφάνθηκαν ότι δεν έπρεπε να παντρευτεί.Σε αυτό το βιβλίο,υπάρχει το εξής πρόβλημα:

  Η φωλιά ενός φιδιού βρίσκεται στην βάση ενός στύλου 15 μέτρων,στην κορυφή του οποίου κουρνιάζει ένα παγωνι.Το παγωνι,βλέποντας το φίδι σε απόσταση τριπλάσια από το ύψος του στύλου να έρπει προς την φωλιά του,επιτίθεται αιφνιδιαστικά με σκοπό να το αρπάξει.Πείτε γρήγορα,στα πόσα μέτρα από την φιδοφωλιά θα συναντηθούν,αν και τα δυο κινηθούν κατά την ίδια απόσταση.

   Για να βρούμε την απόσταση από την φωλιά του φιδιού μέχρι και το σημείο που θα συναντηθούν το φίδι με το παγωνι,σκεφτόμαστε ως εξής:

Το παγώνι βρίσκεται στο σημείο P ,η φιδοφωλιά στο H ,το φίδι αρχικά στην θέση S και το σημείο συνάντησης τους στο Μ.Έστω ΗM=χ,PΜ=SΜ=d

Έχουμε ,d²=15²+x²  (1)  και d+x=45   (2)

Η (1): d²=15²+x²  ή d²+x² =15²  ή (d+x) (d-x) =15²                        (3)

H (3) με χρήση της (2) : 45(d-x) =15²  ή  45(d-x) =225  ή  d-x =5   (4)

Από το σύστημα των (4) ,(3) προκύπτει  χ=20 μέτρα,d=25 μέτρα.

                        

Τέλος,ένα σχετικό προβληματάκι για τους μεγαλύτερους φίλους του ιστολογίου.

"Το ορθογώνιο τρίγωνο με ακέραια μήκη πλευρών 12,13,5 μονάδων μήκους παρουσιάζει την ιδιομορφία ότι το εμβαδό του ισούται με την περίμετρο του.Πόσα  ορθογώνια τρίγωνα με ακέραια μήκη πλευρών με την ίδια ιδιότητα υπάρχουν;"

Για την λύση ΕΔΩ                                                      

 Πηγές:

▪ Το πυθαγόρειο Θεώρημα,Eli Maor (Εξαιρετικό!!)

▪ Η Κλίκα των αριθμών,το Πυθαγόρειο θεώρημα,Claudi Alsina

▪ http://nrich.maths.org/
▪ Mathematics Magazine 40(1967),πρόβλημα 644, H. L.Umansky