Ο γάιδαρος του Μπουριντάν,ο ιστός της αράχνης,μια επιβλητική γέφυρα και λοιπά μαθηματικά προβλeeeματα……

Πολιτική γελοιογραφία του 1900 με θέμα,την αναποφαστικότητα επιλογής χώρας από το αμερικανικό Κογκρέσο για την κατασκευή διώρυγας.Για την ιστορία,επιλέχθηκε ο Παναμάς.

                                        

  Ένας πεινασμένος γάιδαρος βρίσκεται στο μέσο μιας γέφυρας,στο κάθε άκρο της γέφυρας είναι στοιβαγμένο ένα δεμάτι σανό.O γάιδαρος κοιτά πότε το ένα δεμάτι ,πότε το άλλο αλλά δεν μπορεί να αποφασίσει προς τα που θα κινηθεί,έτσι συνεχίζει να κάθεται εκεί μέχρι που πεθαίνει από την πείνα...
                                                                    Ζαν Μπουριντάν (Jean Buridan,1292 - 1363)

    Ο γάιδαρος του Μπουριντάν ξεμπέρδεψε από το γνωστό πρόβλημα που τον ταλάνιζε . Έριξε ένα κέρμα και αποφάσισε.Όμως,βρέθηκε αντιμέτωπος με ένα άλλο πρόβλημα υλικής φύσεως.

   Ο γάιδαρος βρίσκεται στην βάση μιας μεγάλης ανηφόρας.Δίπλα του υπάρχουν εκατό δεμάτια σανό,τα όποια πρέπει να μεταφερθούν στην κορυφή της ανηφόρας.Είναι γνωστό ότι ο γάιδαρος μπορεί να φορτώσει μόνο ένα δεμάτι σανό την φορά,από το οποίο και πρέπει να καταναλώνει για έχει δυνάμεις να κινηθεί στην ανηφόρα.Για να ανέβει  την ανηφόρα χρειάζεται να καταναλώσει ακριβώς ένα πλήρες δεμάτι σανό.Ερωτηματικό.Πως είναι δυνατόν να μεταφερθεί κάποια ποσότητα σανού  στην κορυφή της ανηφόρας.Πόση είναι θεωρητικά η μέγιστη ποσότητα σανού που μπορεί να μεταφερθεί επάνω.Υποθέτουμε ότι στην κατηφόρα ο γάιδαρος δεν καταναλώνει σανό.

                              

  Η βασική σκέψη πίσω από το πρόβλημα είναι ότι πρέπει να μεταφερθούν τα δεμάτια  ένα-ένα μέχρι κάποια ή κάποιο ενδιάμεσο σημείο της ανηφόρας,να αναταχτούν πάλι ως πλήρη δεμάτια εκεί,και κατόπιν να συνεχίσει ο γάιδαρος με αυτά προς τα επάνω, ώστε να μην φτάσει στο τέρμα χωρίς καθόλου φορτίο (κάτι που θα συνέβαινε αν ο γάιδαρος ανέβαινε όλη την ανηφόρα με το ίδιο δεμάτι σανό).Μια λύση θα ήταν λοιπόν ο γάιδαρος να μετέφερε και τα 100 δεμάτια μέχρι την μέση και κατόπιν,φτιάχνοντας από τα 100 μισά δεμάτια  50 πλήρη δεμάτια να κάνουμε 50 διαδρομές,τερματίζοντας έτσι με  25 πλήρη δεμάτια. Υπάρχουν όμως καλύτερες λύσεις; Ουσιαστικά, πρόκειται για το ζητούμενο του δευτέρου ερωτήματος. Μια δεύτερη βασική σκέψη είναι ότι μας συμφέρει ο γάιδαρος να προχωρεί με όσο το δυνατόν περισσότερες ενδιάμεσες στάσεις συγκέντρωσης εναπομείναντος σανού.

Δηλαδή, πρέπει να κάνουμε συχνά στάσεις και να φτιάχνουμε σωρούς από πλήρη  δεμάτια

▪ Κάνοντας δυο στάσεις τερματίζουμε με:

                     (100-100(1/2))-[100-100(1/2)](1/2)= (100-100(1/2))(1-(1/2))=

                                       = (100-100(1/2)²=100(1-1/2)² =25 δεμάτια

▪ Κάνοντας τρεις  στάσεις τερματίζουμε με:

  (100-100(1/3))-[(100-100(1/3))-(100-100(1/3))(1/3)]-[(100-100(1/3))-(100-100(1/3))(1/3)-(100-100(1/3))-(100-100(1/3))(1/3))(1/3)]=..=100(1-1/3)³ =29,62 περίπου πλήρη δεμάτια

 (Όποιος δει την παραπάνω αριθμητική παράσταση και συνεχίσει να διαβάζει μπορεί να περηφανεύεται ότι ζει επικίνδυνα!!)

▪ Κάνοντας τέσσερις  στάσεις τερματίζουμε με 100(1-1/4)⁴ =31.64 περίπου πλήρη δεμάτια

 

  Κάνοντας ν στάσεις θα τερματίσουμε με 100(1-1/ν)^ν δεμάτια.Όμως,καθώς το ν μεγαλώνει απεριόριστα (λέμε ότι τείνει στο άπειρο) η παράσταση 100(1-1/ν)^ν τείνει στο 100/e=36,7879.

Υπενθυμίζουμε ότι e=2,71.. o γνωστός υπερβατικός αριθμός.

Άρα όσες ενδιάμεσες στάσεις και να κάνουμε δεν πρόκειται η μέγιστη ποσότητα σανού που θα μεταφερθεί στο τέρμα να ξεπεράσει τα 37 πλήρη δεμάτια.

Συναφές πρόβλημα με τοκογλύφους μπορείτε να δείτε και εδώ 

Αράχνες και γεφύρια

  O αριθμός e κάνει την εμφάνιση του στην μελέτη του αλυσοειδούς(catena),μια καμπύλης που έχει ακριβώς την μορφή μιας αλυσίδας αν την κρεμάσουμε  από τα δυο άκρα της. Το σχήμα του αλυσοειδούς  περιγράφεσαι από την ακόλουθη εξίσωση

                                                        y=(α/2)(e^(x/α)+ e^(-x/α)

Ακόμα και ο ιστός μιας αράχνης συνίσταται από αλυσοειδή. 

                                         

 O Γάλλος εντομολόγος-φυσικός Jean Henri Fabre γράφει στο βιβλίο του Η ζωή της αράχνης

Jean Henri Fabre (1823-1915)

                                               

    Εδώ,αυτός ο αριθμός αμπρακανταμπρα,ο e,εμφανίζεται επανειλημμένα,εγγεγραμμένος στο νήμα της αράχνης.Δεν μένει πάρα να εξετάσουμε,ένα ομιχλώδες πρωινό,το πλέγμα που υφαινόταν όλη νύχτα.Εξαιτίας της υγρομετρικής φύσης τους,οι κολλώδεις κλωστές είναι φορτωμένες με μικροσκοπικά σταγονίδια και, λυγίζοντας από το βάρος,μετατρέπονται σε πάμπολλα αλυσοειδή,γεμάτα διαύγεια πετράδια,παραταγμένα όλο χάρη  σε μια θεσπέσια σειρά  πάνω σε κάθε καμπύλη.Αν οι ακτίνες  του ήλιου διαπεράσουν την ομίχλη , ολόκληρη η δομή ιριδίζει και μετατρέπεται σε ένα απαστράπτον σύμπλεγμα από διαμάντια. Ο αριθμός e σε όλο του το μεγαλείο…

                                   

(Ολόκληρο το βιβλίο στον σύνδεσμο:http://www.efabre.net/fabre/electronictexts/the-life-spider)

 

   Το αλυσοειδές κάνει την εμφάνιση του σε μερικά από τα επιβλητικότερα μνημεία του κόσμου.Ένα από αυτά είναι η αψίδα Gateway Arch στο Σαν Λουις του Μισούρι στις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής. Σχεδιάστηκε από τον Φιλανδό αρχιτέκτονα Eero Saarinen (1910-1961)και κατασκευάστηκε από την Γερμανοαμερικανό μηχανικό Hannskarl Bandel.