Η σπείρα του Ούλαμ, ο μεγάλος δάσκαλος Βραχμασούπας και ο τύπος του Οιλερ ...

                                   

                                     

   "Τα μαθηματικά είναι σαν το νερό…Συντίθενται από δύσκολες και περίπλοκες θεωρίες, όμως η βασική τους λογική είναι απλή.Όπως το νερό ρέει από το ψηλότερο προς το χαμηλότερο και ακολουθεί την συντομότερη ρότα έτσι και οι αριθμοί ρέουν προς μια κατεύθυνση.Πρέπει να κρατήσεις τα μάτια σου πάνω τους και η πορεία τους,θα σου αποκαλυφθεί.Αυτό αρκεί.Δεν χρειάζεται να κανείς τίποτα άλλο.Συγκεντρώσου,κράτησε  τα μάτια σου ανοικτά,και οι αριθμοί θα αποκτήσουν καθαρότητα και θα αναδυθούν ευδιάκριτοι μπροστά σου.Σε ένα περίπλοκο κόσμο το μόνο πράγμα που με αντιμετωπίζει ευγενικά και με αβρότητα είναι τα μαθηματικά…"

                                                                                               Haruki Murakami 

   Όταν ρωτήθηκε ο μεγάλος Μπραχαμιώτης δάσκαλος Βραχμασούπας,ποιο είναι το ελιξήριο της αθανασίας.Αυτος συνοφρυωθηκε σταύρωσε τα χέρια και απάντησε: 
           "Μα φυσικά είναι η απόλυτη ανία;Η ώρα δεν..περνάει με τίποτα!" 
Το αστείο είναι παγωμένο,όμως στην ιστορία των μαθηματικών σε μια τέτοια στιγμή απόλυτης ανίας γεννήθηκε μια ιδέα.Η σπείρα του Ούλαμ.Μην ανησυχειτε,δεν άπτεται του ποινικού δικαίου,αφορά μόνο τα μαθηματικά.Ο Στανισλαβ Ούλαμ(1909-1984),ένας διακεκριμένος Πολωνός μαθηματικός κατά την διάρκεια ενός βαρετού συνεδρίου,το 1963,για να σκοτώσει την ώρα του,σε ένα φύλλο χαρτί σημείωνε κουκκίδες με το στυλό του. 
Τι ανακάλυψε;

  Αν πάρουμε ένα απλό φύλλο χαρτί.Τοποθετήσουμε τον αριθμό 1 σε ένα τετράγωνο στο μέσο του φύλλου. Αρχίζουμε  σε διαδοχικά τετράγωνα γύρω από το 1 να τοποθετούμε τους αριθμούς 2,3,4,5,6,7....σχηματίζοντας μια σπείρα.Στην συνέχεια κυκλώνουμε  τους πρώτους αριθμούς του φύλλου.
 

                                                                                       

Το παρακάτω βίντεο περιγράφει την διαδικασία βήμα-βήμα.

                   

Στο επόμενο σχήμα η σπείρα του Ούλαμ  με ένα πλέγμα τετραγώνων 200 επί 200.

                       

                        

  Δείτε την συμμετρία στο σχήμα,τα διαγώνια τμήματα συντίθενται από πρώτους και εμφανίζουν κανονικότητες.Για ποιο λόγο;Πολύ απλά δεν γνωρίζουμε,οι πρώτοι αριθμοί εκατοντάδες χρόνια τώρα αρνούνται αν αποκαλύψουν τα μυστικά τους.Δεν είναι απαραίτητο να αρχίσουμε από το μηδέν,οποιοσδήποτε αριθμός μας κάνει.Tο μοτίβο που θα εμφανιστεί θα είναι το ίδιο.Ο Ούλαμ εμπνεόμενος από την τυχαία αυτή ανακάλυψη του δημιούργησε και άλλου είδους τέτοιες σειρές με διαφορετική αφετηρία.
    Τοποθέτησε το 17 στο κέντρο, και ακολουθώντας το παραπάνω ελικοειδές πρότυπο  έγραψε όλους τους ακεραίους από το 17 μέχρι το 272.Πάλι,οι πρώτοι αριθμοί εμφανίζονται σε διαγωνίους.Μάλιστα,η κυρία διαγώνιος που συνδέει το κάτω αριστερό σημείο με το πάνω δεξιό περιείχε αποκλειστικά πρώτους αριθμούς:

                    227,173,127,89,59,37,23,17,19,29,47,73,107,149,199,257

(ένα στιγμιότυπο του σχήματος με κάποιους από τους αριθμούς με κόκκινη σήμανση  δείτε παρακάτω)

                          

   Τον 18^ο αιώνα, ο Οιλερ  είχε παρουσιάσει ένα πολυωνυμικό τύπο  v²+v+17 o όποιος για διαδοχικές τιμές του ν από το 0 μέχρι το 15  παράγει πρώτους αριθμούς.Αυτοί οι δεκαέξι  πρώτοι ήταν στην πραγματικότητα αυτοί που εμφανίστηκαν στην παραπάνω σπείρα.

                                        ν=0       0²+0+17=17

                                        ν=1       1²+1+17=19

                                        ν=2       2²+2+17=23

                                        ν=3       3²+3+17=29

                                                          .

                                                          .

                                        ν=15      15²+15+17=257

   Ο υπολογιστής Maniac 2,στο εργαστήριο του Λος Αλαμος,είχε αποθηκευμενους στην μνήμη του,τους πρώτους 90 εκατομμύρια πρώτους αριθμούς.Το εργαστήριο επίσης διέθετε μια από τις πρώτες συσκευές δημιουργίας γραφικών με υπολογιστή.Μιλάμε πάντα για το 1963.Ο Ουλαμ προγραμμάτισε τον υπολογιστή έτσι ώστε να δημιούργησε μια τετραγωνική σπείρα των πρώτων 10 εκατομμυρίων αριθμών.Υπήρξε ένας από τους διακαείς του πόθους,να αποκρυπτογραφήσει την συμπεριφορά των πρώτων αριθμών με τα τετραγωνικά σκαριφήματα του.Ο άλλος ήταν να βρει ένα περιττό τέλειο αριθμό.Δεν το κατάφερε ούτε αυτός ούτε κανένας άλλος μέχρι σήμερα!!   
   Στην μεγαλύτερη μαθηματική βάση δεδομένων Wolfram Mathworld αναφέρεται,ότι ο συγγραφέας επιστημονικής φαντασίας Άρθουρ Κλαρκ,το 1956,στο βιβλίο του "Η πόλη και τα άστρα"προφητικά έγραφε:

  «Ο Τζέσερακ έμεινε ακίνητος μέσα στην δίνη των αριθμών.Οι πρώτοι χίλιοι πρώτοι αριθμοί …Ο Τζέσερακ δεν ήταν μαθηματικός,αν και μερικές φορές του άρεσε να πιστεύει ότι ήταν.Το μόνο που μπορούσε να κάνει ήταν να ψάξει ανάμεσα στην άπειρη σειρά πρώτων αριθμών για ιδιαίτερες σχέσεις και κανόνες,που,πιο ταλαντούχοι από αυτόν άνδρες θα μετουσίωναν σε γενικούς νόμους.Θα μπορούσε να βρει πώς συμπεριφέρονται οι αριθμοί, αλλά δεν μπορούσε να εξηγήσει γιατί..Ήταν ευχαρίστησή του να χαράξει το δρόμο του μέσω  των αριθμών,και μερικές φορές ανακάλυψε  θαύματα  τα οποία  περισσότερο επιδέξιοι  εξερευνητές είχαν χάσει.Έκανε τον υπολογιστή του μήτρα που θα γεννούσε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς των ακέραιων και είδε την οθόνη να γεμίζει από τις περιδινήσεις των πρώτων.»

 
Συναφές βίντεο από το μαθηματικό διαδικτυακό κανάλι Numberphile
 

                   

Περαιτέρω πηγές
- http://ulamspiral.com/ - http://scienceblogs.com/goodmath/2010/06/22/the-surprises-never-eend-the-u/
 -http://www.math.uoc.gr/~ags/prime_formulas.pdf

  Ο Ούλαμ έγραφε το 1976 για την επήρεια των μαθηματικών στο αυτοβιογραφικό βιβλίο του ,Οι περιπέτειες ενός μαθηματικού.

«Παρ’ολη την μεγαλειώδη θέαση τους,την αποτίμηση της ομορφιάς και την ενόραση νέων οντοτήτων,τα Μαθηματικά έχουν μια επηρεάστική ιδιότητα,λιγότερο εμφανή ή υγιή.Η ιδιότητα αυτή συγγενεύει,ίσως,με την επίδραση ορισμένων χημικών φαρμάκων.Ο παραμικρός γρίφος,έστω και άμεσα αναγνωρίσιμος ως τετριμμένος η επαναληπτικός,μπορεί να ασκήσει υπνωτική επιρροή.Μπορεί κανείς να απορροφηθεί αρχίζοντας να λύνει τέτοιους γρίφους. Θυμάμαι ότι κάποτε το American Mathematical Monthly δημοσίευε περιστασιακά προβλήματα που τα είχε υποβάλλει ένας Γάλλος γεωμέτρης και τα οποία αφορούσαν κοινότοπες «διευθετήσεις» κύκλων ευθειών και τρίγωνων το επίπεδο.Belanglos (ασήμαντον),όπως λένε οι Γερμανοί μόνο που αυτά τα σχήματα μπορούσαν να σε τραβήξουν, αν άρχιζες να σκέπτεσαι πώς να λύσεις τα σχετικά προβλήματα, κι όταν ακόμα συνειδητοποιούσες συνεχώς ότι μια λύση τους δύσκολα θα μπορούσε να οδηγήσεις σε πιο «παρακινητικά» ή γενικότερα θέματα. Αυτό έρχεται σε χτυπητή αντίθεση με ότι είπα για την ιστορία του (Τελευταίου) θεωρήματος του Fermat,που οδήγησε στην δημιουργία ευρυτάτων νέων αλγεβρικών εννοιών .Η διαφορά έγκειται ίσως στο γεγονός ότι μικρά προβλήματα μπορούν να λυθούν με μερικές προσπάθειες,ενώ το πρόβλημα του Fermat παραμένει ανεπίλυτο*και αποτελεί διαρκή πρόκληση. Παρ όλα αυτά,και οι δυο τύποι μαθηματικών αξιοπερίεργων έχουν μια ισχυρά επηρεαστική ποιότητα για τον δυνάμει μαθηματικό,η οποία ενυπάρχει σε όλα τα επίπεδα, από τα τετριμμένα θέματα ως τις πλέον εμπνέουσες επόψεις των μαθηματικών.»

                                                  Στάνισλαβ Ούλαμ,Οι περιπέτειες ενός μαθηματικού

(*Το 1976,όταν ο Ούλαμ έγραφε το αυτοβιογραφικό βιβλίο του,το τελευταίο θεώρημα του Fermat ήταν ακόμα εικασία.)