Πιθανότητες με αυτοκίνητα και αίγες(Το πρόβλημα του Monty Hall)

 "Πιθανότης είναι η ιδιόρρυθμη κατάσταση που, σύμφωνα με το νόμο, είναι πιθανόν να συμβούν όλα ή και μερικά πράγματα."

       Μαργαριτάρι από σχολικό μαθητικό γραπτό

  

   Ο Monty Hall είναι Καναδός τηλεπαρουσιαστής, που παρουσίαζε το περίφημο τηλεπαιχνίδι Let’s make a deal στο τηλεοπτικό κανάλι ABC από το 1963 μέχρι το 1977 και σε μερικές ακόμα μεμονωμένες σαιζόν μέχρι και το 1991.Στη Ελλάδα το παιχνίδι μεταφέρθηκε  ως Το μεγάλο παζάρι με παρουσιαστή τον Ανδρέα Μικρούτσικο.
   Αν κάποιος συμπληρώσει στο πεδίο αναζήτησης της Google το όνομα Monty Hall δεν θα έχει αποτέλεσμα  τον παρουσιαστή αλλά  ένα από τα μεγαλύτερα παράδοξα της επιστήμης των Πιθανοτήτων.    

   Όλα ξεκίνησαν όταν το 1975, ο Steve Selvin έστειλε ένα γράμμα στο περιοδικό American Statistician, δημοσιεύοντας ένα πρόβλημα βασισμένο στο συγκεκριμένο τηλεπαιχνίδι, το οποίο αργότερα ονόμασε το πρόβλημα του Monty Hall. Η διατύπωση του έχει ως εξής.

   Πίσω από τρεις κουρτίνες τοποθετούνται ένα αυτοκίνητο και δύο κατσίκες. Ο παρουσιαστής γνωρίζει ποια κουρτίνα κρύβει το αυτοκίνητο. Ο παίκτης καλείται να επιλέξει μια κουρτίνα, π.χ. την Α. Στη συνέχεια ο παρουσιαστής ανοίγει μία από τις άλλες κουρτίνες που κρύβει πίσω της μία κατσίκα. Ας πούμε ότι ανοίγει τη Β. Δίνεται τώρα στον παίκτη η δυνατότητα είτε να επιμείνει στην αρχική επιλογή του (κουρτίνα Α) είτε να αλλάξει και να ανοίξει την κουρτίνα Γ. Τι έχει συμφέρον να κάνει ο παίκτης;

  Η πρώτη απάντηση που έρχεται στο μυαλό των περισσοτέρων είναι ότι αφού έχει ήδη ανοίξει μία κουρτίνα που έκρυβε κατσίκα και έχουν απομείνει μία κουρτίνα με κατσίκα και μία με το αυτοκίνητο, οι πιθανότητες είναι πια 50-50 και καμιά από τις δυνατές επιλογές του παίκτη δεν είναι ευνοϊκότερη από την άλλη. Εικασία η οποία  αποδεικνύεται λάθος!

   Για να κατανοήσουμε το γιατί πρέπει να σκεφτούμε ποιες είναι δυνατές στρατηγικές που θα ακολουθήσει ο παίκτης όταν μπει στο στούντιο: Υπάρχουν δύο επιλογές :

1η   Ο παίκτης επιλέγει μία κουρτίνα  π.χ. την Α) και εμμένει σε αυτήν μέχρι το τέλος, ό,τι και αν του πει ο παρουσιαστής. Αφού υπάρχουν τρεις κουρτίνες και ένα αυτοκίνητο,  η πιθανότητα νίκης με αυτή τη στρατηγική είναι 1/3.

2η Ο παίκτης επιλέγει αρχικά μία κουρτίνα (π.χ. την Α) και μόλις ο παρουσιαστής ανοίξει μία άλλη  κουρτίνα (π.χ. τη Β) και αποκαλύψει  μία κατσίκα, αλλάζει και επιλέγει την κουρτίνα Γ που έχει απομείνει.
   Με  αυτή τη στρατηγική, ο παίκτης για  να έχει καλύτερη πιθανότητα να κερδίσει  οφείλει να αλλάξει τη αρχική του επιλογή .Ο παρουσιαστής θα ανοίγει σε κάθε περίπτωση την άλλη κουρτίνα με την κατσίκα και αλλάζοντας ο παίκτης διεκδικεί με πιο  ευνοϊκούς όρους  το αυτοκίνητο. Έτσι η πιθανότητα νίκης του με αυτή τη δεύτερη στρατηγική είναι 2/3.

Μπορούμε να το δούμε με την βοήθεια ενός πίνακα. Εάν επιλέξει κάποιος να εμμείνει στην αρχική του επιλογή,τότε:

Πιθανότητα νίκης 1/3

Αν αλλάξετε τελικά επιλογή τότε:

Η αλλαγή αυξάνει την πιθανότητα στα 2/3.

   Είναι γεγονός ότι ακόμα και μαθηματικοί μεγάλου  βεληνεκούς,έχουν τις αμφιβολίες τους για την λύση που προτείνεται.Είναιπολύ γνωστή η διένεξη της Μέριλιν Φος Σάβαντ του ανθρώπου εν ζωή με το μεγαλύτερο IQ  (228 μονάδες)  με πολλούς μαθηματικούς.Καταγεγραμμένη στο βιβλιο των ρεκόρ Γκίνες.Η  Μέριλιν Φος Σαβαντ  έγραφε στο περιοδικό Parade την δημοφιλή  στήλη «Ρώτα την Μέριλιν» Το 1990 όταν ρωτήθηκε για το παράδοξο του Monty Hall από αναγνώστη του περιοδικού υποστήριξε ότι  να βελτιωθούν οι πιθανότητες  πρέπει ο διαγωνιζόμενος οπωσδήποτε να αλλάξει κουρτίνα. Το αποτέλεσμα ήταν απρόσμενο 10000 αναγνώστες από τους οποίους οι 1000  είχαν τριτοβάθμια εκπαίδευση έστειλαν διαμαρτυρία στο περιοδικό ότι η λύση ήταν λανθασμένη.           

   Η Μέριλιν Φος Σάβαντ τελικά δικαιώθηκε .Η απάντηση της επαληθεύτηκε πειραματικά με την μέθοδο Monte Carlo.Οι στατιστικές δείχνουν ότι μόλις το 13% των ανθρώπων απαντάει σωστά στην παραπάνω ερώτηση.

  Άξιο αναφοράς είναι το περιστατικό με τον θρυλικό μαθηματικό Πωλ  Έρντος που μνημονεύει στην βιογραφία του «Ο άνθρωπος που αγαπούσε τους αριθμούς» ο Πωλ Χόφμαν. Διηγείται ο Ούγγρος μαθηματικός Andrew Vazsonyl,συνάδελφος και φίλος του Έρντος:

   Επισήμανα στον Έρντος ότι η σωστή κίνηση ήταν να αλλάξεις την αρχική επιλογή και περίμενα να περάσουμε σε άλλο θέμα. Αλλά ο Έρντος προς μεγάλη μου έκπληξη,απάντησε:«Όχι ,είναι λάθος. Δεν θα είχε καμιά διαφορά ».Τότε, μετάνιωσα που ανάφερα το πρόβλημα, διότι γνώριζα εκ πείρας ότι όλοι υποστηρίζουν  με παθός την γνώμη τους, και στο τέλος καταλήγω να βρίσκομαι σε δυσάρεστη κατάσταση. Δεν υπήρχε όμως τρόπος να υποχωρήσω, και έτσι του υπέδειξα την λύση μέσω ενός δενδροδιαγράμματος που είχα χρησιμοποιήσει στο προπτυχιακό μάθημα Ποσοτικές τεχνικές μάνατζμεντ .Ήταν ανώφελο ο Έρντος δεν πείστηκε ,έφυγα από το δωμάτιο.Μια ώρα αργότερα ήρθε και με βρήκε πραγματικά οργισμένος. «Δεν μου εξήγησες γιατί πρέπει να αλλάξω την αρχική επιλογή. Μα τι σου συμβαίνει;» ρώτησε. Του είπα ότι λυπόμουν, αλλά πραγματικά ούτε και εγώ ήξερα το γιατί, και ότι μόνο η ανάλυση του δενδροδιαγράμματος με είχε πείσει. Τότε αυτός αναστατώθηκε ακόμα περισσότερο.

   Για την ιστορία, ο Έρντος πείστηκε από τον Vazsonyl,μόνο όταν ο δεύτερος προσομοίωσε το παιχνίδι στον προσωπικό του υπολογιστή.

  Οι περισσότεροι άνθρωποι δρουν και επιλέγουν με γνώμονα το θυμικό παρά με την λογική. Ουσιαστικά αποστρέφονται την αποτυχία (απώλεια)  όταν αυτή  συμβεί. Οι ψυχολόγοι  Donald  Granberg και Thad A.Brown πήραν συνέντευξη από ανθρώπους  που τους τέθηκε  το δίλλημα του Μοντυ Χολ και παρέμειναν στην αρχική τους επιλογή ,δεν άλλαξαν κουρτίνα μετά  την προσφορά ,αιτιολόγησαν την απόφαση τους, ως έξης:

  -«Δεν ήθελα να επιλέξω την άλλη πόρτα επειδή αν έκανα λάθος θα ήμουν περισσότερο εκνευρισμένος παρά αν παρέμενα στην αρχική μου επιλογή και έχανα!!»

 -« Ήταν η πρώτη ενστικτώδης  επιλογή μου  και αν ήταν λάθος ,έχει καλώς. Αν όμως  την άλλαζα και έκανα λάθος θα  ήταν χειρότερα». 

 -«Ειλικρινά  θα το μετάνιωνα αν άλλαζα κουρτίνα και  έχανα. Είναι καλυτέρα να παραμένει κάποιος στην αρχική του επιλογή.

  (The Monty Hall dilemma, Granberg and Brown)

Πλάνο από την ταινία 21 (2008) του Ρόμπερτ Λουκέτικ όπου ο Κέβιν Σπέισι υποδυόμενος  τον μεφιστοφελικό  καθηγητή Μίκυ Ρόζα περιγράφει το δίλημμα του Μόντι Χολ.