Γάτες,ποντίκια,Pisa και πούπουλα….

 «Είναι ένα πράγμα η λογική και ένα άλλο πράγμα ο κοινός νους» είπε ο λαγός στην χελώνα προτού την πέσει για ύπνο κάτω από μια φτελιά, μακάριος για την επερχόμενη νίκη που δεν ήρθε… ποτέ.»

                                                                                         Βάρδος Σλόγκαν,Καμένα μιξ

 

    Διάβαζα πρόσφατα για τα αποτελέσματα του διαγωνισμού  Pisa και την συλλήβδην απαξίωση των ελλήνων μαθητών από ειδήμονες και μη.O Polya γράφει:Η επίλυση προβλημάτων συνιστά μια τέχνη πρακτική,όπως η κολύμβηση, το σκι ή το παίξιμο  πιάνου:ο μόνος τρόπος  να την μάθει κανείς είναι η μίμηση και η εξάσκηση.Η αλήθεια είναι ότι η πλειοψηφία των Ελλήνων μαθητών δεν μπορεί να ανταπεξέλθει σε τέτοιου είδους  διαγωνισμούς διότι δεν διδάσκονται στο σχολείο προβλήματα εφαρμογών στα μαθηματικά. Δεν αποτελούν αντικείμενο μελέτης.Ποτέ δεν έκρυψα ότι  θα ήθελα το πρόβλημα να είναι παρόν στα σχολικά μαθηματικά.Αλλά στην τελική  με ενοχλεί και η άποψη που πρεσβεύει ο Pisa,ότι πρέπει πάντα τα μαθηματικά να μετουσιώνονται σε  πρακτικές δεξιότητες;(Υπάρχει ένας όρος για τέτοιου είδους φιλοσοφίες:μαθηματικός μαοϊσμός).Επίσης με ενοχλεί η ευκολία με την οποία προβάλλουμε την κόπωση μας ως κοινωνία στο τι μπορούν ή δεν  μπορούν να κάνουν τα παιδιά.Θέλετε καλύτερη παιδεία;Διπλασιάστε τους μισθούς των διδασκόντων και  ταυτόχρονα αξιολογήστε τους.Όσο δεν συμβαίνει αυτό,το εκπαιδευτικό μας μέλλον ταυτίζεται με την σαρκαστική περιγραφή του Εντουάρντο Γκαλεάνο προ εικοσαετίας στον Κόσμο ανάποδα:

  

«…στα τέλη του 1997,ο Λεονάρντο Μολέντο δημοσίευσε ένα άρθρο για να υπερασπιστεί τους χαμηλούς μισθούς του εκπαιδευτικού συστήματος της Αργεντινής. Ο εν λόγω πανεπιστημιακός αποκάλυψε ότι οι ισχνοί μισθοί οδηγούν σε διεύρυνση της γενικής μόρφωσης,ευνοούν την διαφοροποίηση και την διακίνηση των γνώσεων και συντελούν στην αποφυγή των παραμορφώσεων της ψυχρής εξειδίκευσης .Χάρη στους μισθούς πείνας, ένας καθηγητής πανεπιστημίου,που το πρωί διδάσκει χειρουργική του εγκεφάλου, μπορεί να εμπλουτίσει την μόρφωση του,και την μόρφωση των άλλων,βγάζοντας φωτοτυπίες το απόγευμα και επιδεικνύοντας τις ακροβατικές του ικανότητες στο τσίρκο το βράδυ. Ο ειδικός της γερμανικής λογοτεχνίας έχει την εκπληκτική ευκαιρία να σερβίρει σε πιτσαρία και στην συνέχεια να παίζει το ρόλο του ταξιθέτη στο θέατρο Κόλον.Ο πτυχιούχος του Ποινικού Δικαίου μπορεί να προσφέρει στον εαυτό του την πολυτέλεια,Δευτέρα με Παρασκευή να κάνει διανομές με φορτηγό και το Σαββατοκύριακο να φυλάει μια πλατεία και ο ερευνητής της μοριακής βιολογίας πληροί τις απαραίτητες προϋποθέσεις ώστε να βελτιώσει την μόρφωση του κάνοντας τον υδραυλικό και βάφοντας αυτοκίνητα.»

   Και σίγουρα τα προβλήματα δεν είναι πανάκεια για την μαθηματική εξέλιξη ενός μαθητή; Ο Λιουις Κάρολ- στο περιοδικό Monthly Packet ,τον Φεβρουάριο του 1844,για να καταδείξει την προσοχή που απαιτείται στην επιλογή και την χρήση προβλημάτων  που έχουν  «σύνδεση» με την καθημερινότητα στα  μαθηματικά αναφέρει  τον πρόβλημα με τις γάτες και τα ποντίκια.

Το πρόβλημα έχει κάπως έτσι:

 

   Αν 6 γάτες σκοτώνουν 6 ποντίκια σε 6 λεπτά, πόσες γάτες χρειάζονται  για αν σκοτώσουμε 100  ποντίκια σε 50 λεπτά;  

 Ένας τρόπος είναι να πούμε ότι αν 6 γάτες σκοτώνουν  6 ποντίκια σε 6 λεπτά τότε ο αριθμός των λεπτών   που χρειάζονται για να σκοτωθεί ένα ποντίκι είναι :(6*6)/6=6 λεπτά ανά ποντίκι ,αν έπρεπε να σκοτωθούν 100 ποντίκια απαιτούνται 100*6=600 λεπτά. Έχουμε στην διάθεση μας μόνο 50 λεπτά τότε απαιτούνται   600/50 =12 γάτες .

Ας σκεφτούμε τι υπολογίσαμε.

   Όταν το κυνήγι φτάνει στο τέλος του φτάνουμε στο σημείο όπου σε 48 λεπτά  96 ποντίκια είναι νεκρά και μένουν ακόμα 4 ποντίκια να εξολοθρευτούν από τις  12  γάτες σε 2 λεπτά .Πως μπορεί να γίνει αυτό:

Σκεφτείτε την αρχική υπόθεση:

                                    6 γάτες σκοτώνουν  6 ποντίκια σε 6 λεπτά

Αυτό σημαίνει ότι για τα 2 λεπτά που απομένουν και τα 4 ποντίκια έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

Α. Και οι 6 γάτες απαιτούνται για σκοτώσουν 1 ποντίκι  σε  1 λεπτό καθώς οι υπόλοιπες γάτες κοιτούν περιμένοντας την σειρά τους.

Β.3 γάτες απαιτούνται για να σκοτώσουν ένα ποντίκι και το κάνουν σε 2 λεπτά.

Γ.2 γάτες απαιτούνται για να σκοτώσουν ένα ποντίκι και το κάνουν σε 3 λεπτά.

Δ. Κάθε γάτα σκοτώνει μόνη της 1 ποντίκι και για αυτό χρειάζεται 6 λεπτά.

  

   Αν δούμε όλα τα παραπάνω ενδεχόμενα  στην απάντηση που δόθηκε ότι 12 γάτες σκοτώνουν 100 ποντίκια σε 50 λεπτά .Οι περιπτώσεις Α και Β λειτουργούν όμως  στην περίπτωση Γ  έχουμε σουρεαλ καταστάσεις . Μπορεί να λειτουργήσει μόνο  αν δεχτούμε  «μερικούς» θανάτους των ποντικιών ,δηλαδή  ότι 2 γάτες σκοτώνουν 2/3 ενός ποντικιού σε 2 λεπτά. Αναλόγως, η περίπτωση Δ  λειτουργεί μόνο αν μια  γάτα μπορεί να σκοτώσει 1/3  ενός ποντικού σε 2 λεπτά.

   Ο μόνος τρόπος να επιλυθεί η παραπάνω παραφωνία είναι να προσθέσουμε επιπλέον γάτες.Στην περίπτωση Γ  λιγότερες από 2 παραπάνω γάτες θα ήταν άχρηστες. Mε  2  επιπλέον  τότε θα είχαν αρχίσει να σκοτώνουν τα 4 ποντίκια στην αρχή των 50 λεπτών  και θα είχαν τελειώσει σε 12 λεπτά, και θα είχαν τα υπόλοιπα 36 λεπτά χωρίς να κάνουν τίποτα. Στην περίπτωση Δ  μια έξτρα γάτα θα αρκούσε; Βέβαια, Θα σκότωνε 4 γάτες σε 24 λεπτά,αλλά επίσης θα είχε άλλα 24 λεπτά να ξοδέψει οπότε θα σκότωνε αλλά 4 ποντίκια . Αλλά σε κάθε περίπτωση  δεν θα μπορούσε να κυνηγήσει τα τελευταία 2  λεπτά εκτός αν είχαμε ημιθανείς ποντικούς το οποίο μοιάζει εξαιρετικά βάρβαρο. 

Συγκεντρωτικά:

   Αν 6 γάτες σκοτώνουν  6 ποντίκια σε 6 λεπτά με την μέθοδο Α ή Β ,τότε η απάντηση είναι 12,με την μέθοδο Γ η απάντηση είναι 14 και με την μέθοδο Δ είναι 13.

   Σε αναζήτηση στο διαδίκτυο εμφανίζονται για το συγκεκριμένο πρόβλημα 41900000 αποτελέσματα  με κάθε είδους προσεγγίσεις, κάποιες από το υπερπέραν.Σε μια από αυτές ένα τυπάκος από την Γερμάνια αναφέρει ότι στα μέρη του 100 ποντίκια εναντίον 12 άντε το πολύ 14 γατών  θα είχαν ένα πολύ δυσάρεστο  τετελεσμένο  για τις..γατες. 


Δωράκι  γρίφος