Το άπειρο υπάρχει για μας όπως η γλώσσα για τον κωφάλαλο.
Οδυσσέας Ελύτης, 1911-1996
Το Πάσχα πέρασε, τα διαγωνίσματα ήρθαν,διαχρονική νέμεση. Στόχος; Φυσικά η διόρθωση τους σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα.
Σε αυτό το σημείο με την στοίβα των γραπτών στο γραφείο σκέπτομαι υπερστόχους.Τι
είναι ένας υπερστόχος; Αντιγράφω από την Stanford Encyclopedia of Philosophy:
«Ένας
υπερστόχος είναι ένα έργο που απαιτεί
την εκτέλεση ενός απείρου πλήθους πράξεων ή ενεργειών σε πεπερασμένο χρονικό
διάστημα.»
Ο
όρος πιστώνεται στον Βρετανό φιλόσοφο Τζαίημς Τόμσον (1921–1984).Τι αφορά; Να
ξεκλειδώσεις το συρτάρι και να προλάβεις να ρίξεις το κλειδί μέσα ή να έχεις τον τελευταίο λόγο σε κουβέντα με υποψήφιο
δημοτικό σύμβουλο! Αστειεύομαι, ο Τόμσον σίγουρα δεν είχε τέτοια πράγματα κατά νου, αναφερόταν στα παράδοξα του Ζήνωνα.Έχουν περάσει τόσα χρόνια και ακόμα ο αγαπημένος μαθητής του Παρμενίδη ανακατεύει την τράπουλα, ο Αλφρεντ
Νόρθ Ουάιτχεντ εύστοχα παρατηρεί: «το να σε διαψεύδουν κάθε αιώνα που περνάει αφότου έγραψες
είναι το αποκορύφωμα του θριάμβου … Κανείς δεν ασχολήθηκε ποτέ με τον Ζήνωνα δίχως
να τον διαψεύσει,και κάθε αιώνας πιστεύει ότι αξίζει τον κόπο να τον διαψεύσει»
Ήδη
ακούω κάποιους να ψιθυρίζετε:Η θεωρία συνόλων,ο απειροστικός λογισμός και ο
Καντόρ τα έχουν ήδη εξηγήσει. Αδιαμφισβήτητο γεγονός σε αυστηρά μαθηματικό
πλαίσιο όμως το άπειρο όταν έχει
και τα δυο πόδια στον πραγματικό κόσμο κάνει την δική σκέψη μας να παραπατάει.
Για να πάω από το σαλόνι (Σ) στην κουζίνα (Κ)
πρέπει να καλύψω το 1/2 της απόστασης ΣΚ, μετά το 1/2+1/4 της απόστασης ΣΚ ,μετά το 1/2+1/4+1/8 της απόστασης ΚΣ κ.ο.κ
Δηλ, κάθε φορά που πρέπει να φάω εκτελώ ένα πλήθος απείρων
ενεργειών σε πεπερασμένο χρόνο. Για αυτό πάχυνα τελευταία! Υπάρχει βέβαια και η
εύκολη απάντηση ,η σειρά 1/2+1/4+… έχει
άθροισμα 1.Η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων των διαφορών από το 1 γίνεται
προοδευτικά μικρότερη από οποιοδήποτε θετικό αριθμό.Μαθηματικά άψογη ερμηνεία,
εμπειρικά όμως αδιανόητο.
Παρηγορούμαι στην σκέψη ότι δεν είμαι ο μοναδικός που του φαίνεται κομματάκι δύσκολο, αν όχι αδύνατο να επιτευχτεί ένας υπερστόχος.Καλή ώρα ο προαναφερθείς Τόμσον.Για τον λόγο αυτό επινόησε ένα παράδοξο που σου ανάβει τα λαμπάκια,κυριολεκτικά,το παράδοξο του λαμπτήρα.Εξηγούμαι.
Παρηγορούμαι στην σκέψη ότι δεν είμαι ο μοναδικός που του φαίνεται κομματάκι δύσκολο, αν όχι αδύνατο να επιτευχτεί ένας υπερστόχος.Καλή ώρα ο προαναφερθείς Τόμσον.Για τον λόγο αυτό επινόησε ένα παράδοξο που σου ανάβει τα λαμπάκια,κυριολεκτικά,το παράδοξο του λαμπτήρα.Εξηγούμαι.
Το
παράδοξο του λαμπτήρα
Το
1954, ο φιλόσοφος Τζαίημς Τόμσον διατυπώνει
το παράδοξο του λαμπτήρα:
Φανταστείτε ένα λαμπτήρα συνδεδεμένο με ένα διακόπτη πάνω σε ένα
ηλεκτρικό κύκλωμα.Ο διακόπτης μπορεί να βρίσκεται σε κάθε χρονική
στιγμή σε ακριβώς μια από τις δυο δυνατές θέσεις που
αντιστοιχούν στης καταστάσεις «λαμπτήρας αναμμένος» και «λαμπτήρας σβηστός».Υποθέτουμε αρχικά την ώρα 17:00 το απόγευμα, η λάμπα είναι σβηστή και
στην συνέχεια υποβάλλεται στην ακόλουθη λειτουργία: Όταν έχει περάσει το 1/2
του χρόνου μέχρι τις 18:00 (δηλαδή στις 17:30 μ.μ ) κλείνουμε τον
διακόπτη του κυκλώματος και ανάβει η λάμπα, όταν έχει περάσει το 1/2+1/4 του χρόνου μέχρι την 18:00 κλείνουμε
τον διακόπτη και ανάβει η λάμπα ,κ.ο.κ .Έτσι μέχρι την χρονική στιγμή 18:00 μ.μ
θα έχουμε εκτελέσει ένα άπειρο πλήθος πράξεων. Το ερώτημα είναι:
Ποια
θα είναι η κατάσταση της λάμπας κατά την χρονική στιγμή 18:00 μ.μ;
Σύμφωνα με το επιχείρημα του Τόμσον η λάμπα δεν θα είναι ούτε σβηστή
ούτε αναμμένη. Δεν θα είναι αναμμένη γιατί δεν υπάρχει χρονική στιγμή t
μεταξύ 17:00 και 18:00 κατά την οποία ανάβουμε την λάμπα χωρίς να
την σβήσουμε αργότερα ( σε κάποια χρονική στιγμή t1 μεταξύ t και 18:00).Και δεν
θα είναι σβηστή γιατί δεν υπάρχει χρονική στιγμή t μεταξύ 17:00 και 18:00 κατά
την οποία σβήνουμε την λάμπα χωρίς να την ανάψουμε αργότερα (σε κάποια
χρονική στιγμή t2 μεταξύ t και 18:00) .Αλλά εκ κατασκευής, η λάμπα πρέπει να
είναι αναμμένη ή σβηστή κατά την χρονική στιγμή 18:00.Έτσι φαίνεται να
καταλήγουμε σε λογική αντίφαση.
Ο Τόμσον επιχείρησε να καταδείξει το λογικώς αδύνατον της λειτουργίας της
λάμπας του. Το επιχείρημα αυτό «ακύρωνε» τις λύσεις της θεωρίας μαθηματικών
σειρών. Αν αποδώσουμε την τιμή 0 στην λάμπα όταν είναι σβηστή και την τιμή 1
όταν είναι αναμμένη. Τότε ένα άναμμα της λάμπας (από το 0 στο 1) αντιστοιχεί
την πρόσθεση μιας μονάδας ενώ ένα σβήσιμο της λάμπας στην
αφαίρεση μιας μονάδας (από το 1 στο 0).Συνεπως η κατάσταση της λάμπας (αναμμένη
,σβηστή) κατά την χρονική στιγμή 18:00, μετά από άπειρη ακολουθία
εναλλασσόμενων αναμμάτων και σβησιμάτων θα αντιστοιχούσε στο άθροισμα της
σειράς 1-1+1-1+1-…,
Όμως κατά την θεωρία των σειρών , η σειρά
αυτή δεν έχει άθροισμα γιατί η ακολουθία
των μερικών αθροισμάτων 1,1-,1-+1,… δεν
συγκλίνει σε ορισμένο όριο αφού οι διαδοχικοί της όροι εναλλάσσονται ως προς
τις τιμές 0 και 1. Από την άλλη ο Τόμσον μάλλον έχει ορίσει όλο το πείραμα με
τέτοιο τρόπο (καταστάσεις λαμπτήρα αναμμένη-σβηστή ) η οποία όμως δεν καθορίζει
την κατάσταση της λάμπας στις 18:00.Για να πούμε και του στραβού το δίκιο ,
γιατί να δεχθούμε ότι η τελική κατάσταση της λάμπας δίνεται από το άθροισμα της
σειράς 1-1+1-1+… (που δεν υπάρχει) μόνο και μόνο επειδή η ακολουθία των
μερικών αθροισμάτων δίνει τις καταστάσεις του λαμπτήρα με τις διαδοχικές πράξεις
ανάμματος-σβησίματος.
Ναι,ο υπερστόχος αποτελεί ένα νοητικό κατασκεύασμα, μαθηματικά εξηγείται
και είναι λογικώς δυνατό. Στην πράξη όμως δεν θα μπορούσε μια μηχανή να
εκτελέσει μια απειρία διαδοχικών πράξεων σε όλο και μικρότερα πεπερασμένα
χρονικά διαστήματα. Είναι φυσικώς αδύνατο και τάσσομαι αναφανδόν υπέρ ενός
σχολίου που διάβασα σε ένα βίντεο σχετικό με την κατάσταση της λάμπας του Τόμσον,
έτσι λοιπόν σε ένα σχόλιο κάποιος γράφει:
«Η τελική κατάσταση της λάμπας θα
είναι σβηστή, θα είχε καεί!!»
Περαιτέρω αναφορές
5.Η
ιστορία του παράδοξου, Roy Sorensen,εκδόσεις Αλεξάνδρεια
6.Παραδοξολογιες και παιχνίδια,
Αριστείδης Αραγιώργης, εκδόσεις Νεφέλη
7.http://mathhmagic.blogspot.com/2019/03/blog-post_13.html
Σχετικό βιντεάκι
7.http://mathhmagic.blogspot.com/2019/03/blog-post_13.html
Σχετικό βιντεάκι
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου